【指点迷津】

　　1.“整除”和“除尽”有什么联系和区别？

　　在整数除法里，a÷b=c，除得的商c如果是整数，而没有余数，我们就说，a能被b整除，或者说b能整除a。如：15÷3=5，我们说15能被3整除，或者说3能整除15。

　　在除法里，a÷b=c，数a、数b、以及商c不见得是整数，但没有余数，我们就说a能被b除尽，或者说b能够除尽a。例如，10÷4=2.5、1.5÷3=0.5、1.5÷0.3=5，都可以说被除数a能被除数b除尽。

　　从上面可以看出，整除是限定在整数除法里的，而“除尽”就不一定限于整数除法。我们还可以用集合图表示其关系：如果a能被b整除，a就一定能被b除尽；反之，a能被b除尽，a却不一定能被b整除。即整除可以说是除尽，但除尽不一定是整除，整除是除尽的一种特殊情况。

　　2.“约数”和“倍数”有什么关系？又有什么不同？

　　如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。如12÷3=4，我们就说12是3的倍数，3是12的约数。不能说12是倍数，3是约数。由此可见，倍数和约数是相互依存的。

　　为了说明它们的不同点，请看下表。

　　个数

　　最小

　　最大

　　一个数的约数

　　有限

　　是1

　　是本身

　　一个数的倍数

　　无限

　　是本身

　　没有

　　3.什么叫质因数？什么叫分解质因数？

　　把一个合数分解成若干质数连乘积的形式，每一个质数就是这个合数的质因数。如：12=2×2×3，2、3叫12的质因数。

　　分解质因数就是把一个合数写成若干质数连乘积的形式。如12=2×2×3。

　　4.“0”是偶数吗？最小的偶数是几？

　　能被2整除的数叫做偶数，因为“0”能被2整除，所以“0”是偶数。但在小学讲数的整除时，是在自然数的范围内，不包括“0”，所以我们可以不说“0”是偶数。

　　最小的偶数是几？先要搞清范围，在自然数范围内，最小的偶数是2，到中学里学了负数就不存在最小的偶数了。

二、学海导航

【思维基础】

　　1.举例说明什么叫整除？

　　例如：20÷5=4，20能被5整除，或5能整除20。

　　整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。

　　2.什么是约数和倍数？它们之间有什么关系？

　　如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　举例：20÷5=4，20能被5整除，我们就说20是5的倍数，5是20的约数。

　　约数和倍数是互相依存的。

　　3.找出60的约数，4的倍数。

　　60的约数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

　　4的倍数有：4、8、12、16、20……

　　从上面可以看出：一个数约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

　　一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

　　4.说说下面的数哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？各自的特征是什么？

　　21、54、65、204、280、58、83、114、75、320、87、155

　　能被2整除的数有：54、204、280、58、114、320。

　　能被3整除的数有：21、54、204、114、75、87。

　　能被5整除的数有：65、280、75、320、155。

　　由此可知：

　　个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

　　一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

　　个位上是0或者5的数，都能被5整除。

　　5.说出什么叫质数、什么叫合数并判断下面各数哪些是质数、哪些是合数。

　　3、27、41、6、11、19、69、57、97

　　一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）。

　　一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

　　质数有：3、41、11、19、97

　　合数有：27、6、69、57

　　6.把下面各数分解质因数，并说出分解质因数的方法。

　　12、15和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。

　　求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。

【学法指要】

　　1.三个连续自然数的乘积为什么一定是6的倍数？

　　思路分析：因为任意三个连续自然数里，至少有一个是2的倍数和一个是3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积，就必然是6的倍数。

　　2.书架上有96本科技读物，如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，要求每次拿走的本数同样多，而且正好取光，问共有多少种拿法？

　　思路分析：通过读题，便可理解题目的意思，就是求96的约数的个数是多少，而题目告诉我们如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，实际是要我们把1和96这两个约数扣除才是要求的答案。

　　96的约数的个数：（5＋1）×（1＋1）=12（个）

　　扣除约数1和96，则约数的个数是：12－2=10（个）

　　答：共有10种拿法。

　　3.在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的数，共有多少个？

　　思路分析：在1～100的自然数中，把有约数2的数、有约数3的数、有约数5的数扣除，就是要求的答案的个数。

　　在1～100的自然数中，

　　有约数2的数有：100÷2=50（个）

　　有约数3的数有：100÷3=33（个）……1

　　有约数5的数有：100÷5=20（个）

　　有约数2、3的数有：100÷（2×3）=16（个）……4

　　有约数3、5的数有：100÷（3×5）=6（个）……10

　　有约数2、5的数有：100÷（2×5）=10（个）

　　有约数2、3、5的数有：100÷（2×3×5）=3（个）……10

　　解：在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的自然数共有：100－=26（个）

　　4.用0、2、4、5、7组成一个五位数，使这个数是除以5余4的最小的五位数。

　　思路分析：用0、2、4、5、7组成的五位数有很多，如24570、24507、24057、20457……满足最小五位数这个条件的最高位上的数字必须是最小 的那个数字，而这五个数字其中最小的那个数字是0，0在这五位数中不能排首位，所以只能把2排在最高位打头。题目的要求是最小的五位数，千位上的数字必须是0，百位上是5，十位上是7，个位上是4。那么为什么百位上不是4呢？因为题目的要求是除以5余4。所以百位上的数字不能是4，只能把4放在个位上。

　　解：用0、2、4、5、7组成的一个五位数，使这个数除以5余4，还须是最小的五位数，那只能是20574。

　　5.一个长方体的3个侧面积分别为s1=20平方厘米，s2=15平方厘米，s3=12平方厘米。求这个长方体的体积是多少？

　　思路分析：根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面都是相对的两个面的面积相等。但是已知的3个面的面积都不相等，我们就可以推出：已知的3个面一定相交于一个顶点。这样，我们就可以画出这个长方体的图。

　　然后把已知条件都标在图上，假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，s1=ab=20，s2=ac=15，s3=bc=12（如图所示）。求这个长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但是长、宽、高都没直接给出。不过，长、宽、高这三个数中，每两个数的乘积我们都知道，如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数之积。我们仔细分析：ab×ac×bc，根据乘法的交换律和结合律，可以变换为(abc)×(abc)。如果我们能把3个侧面积的积，分成两个相同的数的乘积，问题就可以迎刃而解。abc就是长方形的体积。那么3个侧面积的乘积怎样分成两个相同的数相乘呢？把这几个相乘的数分解质因数。

　　解： 20×15×12

　　=2×2×5×3×5×3×2×2

　　=(2×2×3×5)×(2×2×3×5)

　　=60×60

　　∴abc=60

　　答：这个长方体的体积是60立方厘米。