高中必修一数学知识点总结
时间：2021-08-31第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3、集合的表示：
{ … }如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法.
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A记作 a∈A ,相反,a不属于集合A记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合
2．无限集含有无限个元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
高一数学必修一综合测试真题
第I卷（选择题）
1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则U（A∩B）=
A．{1，4，5}B．{2，3}C．{4，5}D．{1，5}
2.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=
A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C．D．
3.若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（UM）∩N等于
A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}
4.已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于
A．{0}B．{2}C．φD．φ
5.设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．
A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
6.已知集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B的子集个数为
A．2B．3C．4D．16
7.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是
A．0B．0或1C．﹣1D．0或﹣1
8.已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么
A．0∈MB．1MC．﹣1∈MD．0M
9.设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠，则a的取值范围是
A．a＜2B．a＞﹣2C．a＞﹣1D．﹣1＜a≤2
10.以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈；⑤A∩=A，正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
11.集合{1，2，3}的真子集的个数为
A．5B．6C．7D．8
12.已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为
A．3B．5C．3或 5D．无解
13.已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，0，2}
14.设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为Ak，即Ak={x|x=4n+k，n∈Z}，则下列结论中错误的是A．2016∈A0B．﹣1∈A3C．a∈Ak，b∈Ak，则a﹣b∈A0D．a+b∈A3，则a∈A1，b∈A2
二、填空题
16.已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若BA，则实数m= ．17.对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且xY}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），（X△Y称为X与Y的对称差）．已知A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣9≤0}，则A△B=．
18.函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．
19.若集合为{1，a，}={0，a2，a+b}时，则a﹣b= ．20.用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为．
三、解答题
21.已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．
（1）求m﹣n的值；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围．
22.已知函数f（x）的'定义域为（0，4），函数g（x）=f（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．
23.已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．24.已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（UA）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．
25.已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0S，1S；②若a∈S，则∈S．
（Ⅰ）若{2，﹣2}S，求使元素个数最少的集合S；
（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．
26.已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，C={y|y=2x+b，x∈R}
（1）若A∩B=[0，4]，求实数m的值；
（2）若A∩C=，求实数b的取值范围；
（3）若A∪B=B，求实数m的取值范围．
试卷答案
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.C 12.B 13.D 14.D 16.1
17.[﹣3，﹣1）∪（3，+∞）
18.[0，2]
19.﹣1
20.0≤a＜4或a＞4
21.（1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m﹣n的值；
（2）若A∪B=A，BA，分类讨论求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，
∴，∴m=﹣4，n=3，
∴m﹣n=﹣7；
（2）A∪B=A，∴BA．
①B=，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4；②B≠，设f（x）=x2﹣ax+a，则，∴4≤a≤，
综上所述，0＜a≤．
22.【解答】解：要使g（x）有意义，则：0＜x+1＜4，
∴﹣1＜x＜3，
∴A={x|﹣1＜x＜3}；
∵A∩B=B，
∴BA；
①若B=，满足BA，
则a≥2a﹣1，解得a≤1；
②若B≠，则，
解得1＜a≤2；
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
23.【解答】解：集合A={x|x2+x＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，
∴a=﹣1，b=﹣2
即a，b的值分别是﹣1，﹣2．
24.【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，
∴1+p+1=0，解得p=﹣2；
又1+q+r=0，①
（UA）∩B={﹣2}，
∴4﹣2q+r=0，②
由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；
∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．
本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．
25.【解答】解：（Ⅰ）2∈S，则﹣1∈S，∈S，可得2∈S；﹣2∈S，则∈S，∈S，可得﹣2∈S，
∴{2，﹣2}S，使元素个数最少的集合S为{2，﹣1，，﹣2，， }．
（Ⅱ）非空有限集S的元素个数是3的倍数．
证明如下：
（1）设a∈S则a≠0，1且a∈S，则∈S， =∈S， =a∈S
假设a=，则a2﹣a+1=0（a≠1）m无实数根，故a≠．
同理可证a，，两两不同．
即若有a∈S，则必有{a，， }S．
（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，， }S．{a，， }∩{b，， }=．
于是{a，，，b，， }S．
上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止，
∴S的元素个数为3的倍数．
26.【解答】解：（1）由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，
解得：﹣1≤x≤4，即A=[﹣1，4]；
由B中不等式变形得：（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）≤0，
解得：m﹣3≤x≤m+3，即B=[m﹣3，m+3]，
∵A∩B=[0，4]，
∴，
解得：m=3；
（2）∵由C中y=2x+b＞b，x∈R，得到C=（b，+∞），且A∩C=，A=[﹣1，4]，
∴实数b的范围为b≥4；
（3）∵A∪B=B，
∴AB，
∴，
解得：1≤m≤2．
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