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　　高一数学必修一知识点总结

　　第一章 集合与函数概念

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性:

　　(1)元素的确定性如:世界上最高的山

　　(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

　　注意:常用数集及其记法:X Kb 1.C om

　　非负整数集(即自然数集) 记作:N

　　正整数集 :N*或 N+

　　整数集: Z

　　有理数集: Q

　　实数集: R

　　1)列举法:{a,b,c……}

　　2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}

　　3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

　　4) Venn图:

　　4、集合的分类:

　　(1)有限集 含有有限个元素的集合

　　(2)无限集 含有无限个元素的集合

　　(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系-子集

　　注意: 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系:A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

　　即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA

　　② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

　　③ 如果 AB, BC ,那么 AC

　　④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集个数:

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型 交 集 并 集 补 集

　　定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B}.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　记作 ，即

　　CSA=

　　韦

　　恩

　　图

　　示

　　性

　　质 A A=A

　　A Φ=Φ

　　A B=B A

　　A B A

　　A B B

　　A A=A

　　A Φ=A

　　A B=B A

　　A B A

　　A B B

　　(CuA) (CuB)

　　= Cu (A B)

　　(CuA) (CuB)

　　= Cu(A B)

　　A (CuA)=U

　　A (CuA)= Φ.

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念

　　设A、B是非空的.数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

　　注意:

　　1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

　　②定义域一致 (两点必须同时具备)

　　2.值域 : 先考虑其定义域

　　(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

　　3. 函数图象知识归纳

　　(1)定义:

　　在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

　　(2) 画法

　　1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

　　4.区间的概念

　　(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.

　　5.映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”

　　对于映射f:A→B来说，则应满足:

　　(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

　　(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　6.分段函数

　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　(2)各部分的自变量的取值情况.

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

　　补充:复合函数

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

　　二.函数的性质

　　1.函数的单调性(局部性质)

　　(1)增函数

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

　　注意:函数的单调性是函数的局部性质;

　　(2) 图象的特点