指数函数练习题

时间:2021-08-31

  1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则(  )

  A.y3>y1>y2       B.y2>y1>y3

  C.y1>y2>y3   D.y1>y3>y2

  解析:选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,

  y3=(12)-1.5=21.5,

  ∵y=2x在定义域内为增函数,

  且1.8>1.5>1.44,

  ∴y1>y3>y2.

  2.若函数f(x)=ax,x>14-a2x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为(  )

  A.(1,+∞)   B.(1,8)

  C.(4,8)   D.[4,8)

  解析:选D.因为f(x)在R上是增函数,故结合图象(图略)知a>14-a2>04-a2+2≤a,解得4≤a<8.

  3.函数y=(12)1-x的单调增区间为(  )

  A.(-∞,+∞)   B.(0,+∞)

  C.(1,+∞)   D.(0,1)

  解析:选A.设t=1-x,则y=12t,则函数t=1-x的递减区间为(-∞,+∞),即为y=121-x的'递增区间.

  4.已知函数y=f(x)的定义域为(1,2),则函数y=f(2x)的定义域为________.

  解析:由函数的定义,得1<2x<20<x<1.所以应填(0,1).

  答案:(0,1)

  1.设13<(13)b<(13)a<1,则(  )

  A.aa<ab<ba   B.aa<ba<ab

  C.ab<aa<ba   D.ab<ba<aa

  解析:选C.由已知条件得0<a<b<1,

  ∴ab<aa,aa<ba,∴ab<aa<ba.

  2.若(12)2a+1<(12)3-2a,则实数a的取值范围是(  )

  A.(1,+∞)   B.(12,+∞)

  C.(-∞,1)   D.(-∞,12)

  解析:选B.函数y=(12)x在R上为减函数,

  ∴2a+1>3-2a,∴a>12.

  3.下列三个实数的大小关系正确的是(  )

  A.(12011)2<212011<1   B.(12011)2<1<212011

  C.1<(12011)2<212011   D.1<212011<(12011)2

  解析:选B.∵12011<1,∴(12011)2<1,212011>20=1.

  4.设函数f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,则(  )

  A.f(-1)>f(-2)   B.f(1)>f(2)

  C.f(2)<f(-2)   D.f(-3)>f(-2)

  解析:选D.由f(2)=4得a-2=4,又a>0,∴a=12,f(x)=2|x|,∴函数f(x)为偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.

  5.函数f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上(  )

  A.单调递减无最小值   B.单调递减有最小值

  C.单调递增无最大值   D.单调递增有最大值

  解析:选A.u=2x+1为R上的增函数且u>0,

  ∴y=1u在(0,+∞)为减函数.

  即f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上为减函数,无最小值.

  6.若x<0且ax>bx>1,则下列不等式成立的是(  )

  A.0<b<a<1   B.0<a<b<1

  C.1<b<a   D.1<a<b

  解析:选B.取x=-1,∴1a>1b>1,∴0<a<b<1.

  7.已知函数f(x)=a-12x+1,若f(x)为奇函数,则a=________.

  解析:法一:∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,

  ∴f(0)=0,即a-120+1=0.

  ∴a=12.

  法二:∵f(x)为奇函数,

  ∴f(-x)=-f(x),

  即a-12-x+1=12x+1-a,解得a=12.

  答案:12

  8.当x∈[-1,1]时,f(x)=3x-2的值域为________.

  解析:x∈[-1,1],则13≤3x≤3,即-53≤3x-2≤1.

  答案:-53,1

  9.若函数f(x)=e-(x-u)2的最大值为m,且f(x)是偶函数,则m+u=________.

  解析:∵f(-x)=f(x),

  ∴e-(x+u)2=e-(x-u)2,

  ∴(x+u)2=(x-u)2,

  ∴u=0,∴f(x)=e-x2.

  ∵x2≥0,∴-x2≤0,∴0<e-x2≤1,

  ∴m=1,∴m+u=1+0=1.

  答案:1

  10.讨论y=(13)x2-2x的单调性.

  解:函数y=(13)x2-2x的定义域为R,

  令u=x2-2x,则y=(13)u.列表如下:

  u=x2-2x

  =(x-1)2-1 y=(13)u

  y=(13)x2-2x

  x∈(-∞,1]

  x∈(1,∞)

  由表可知,原函数在(-∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.

  11.已知2x≤(14)x-3,求函数y=(12)x的值域.

  解:由2x≤(14)x-3,得2x≤2-2x+6,

  ∴x≤-2x+6,∴x≤2.∴(12)x≥(12)2=14,

  即y=(12)x的值域为[14,+∞).

  12.已知f(x)=(12x-1+12)x.

  (1)求函数的定义域;

  (2)判断函数f(x)的奇偶性;

  (3)求证:f(x)>0.

  解:(1)由2x-1≠0,得x≠0,

  ∴函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.

  (2)在定义域内任取x,则-x在定义域内,

  f(-x)=(12-x-1+12)(-x)=(2x1-2x+12)(-x)

  =-1+2x21-2xx=2x+122x-1x,

  而f(x)=(12x-1+12)x=2x+122x-1x,

  ∴f(-x)=f(x),

  ∴函数f(x)为偶函数.

  (3)证明:当x<0时,由指数函数性质知,

  0<2x<1,-1<2x-1<0,

  ∴12x-1<-1,

  ∴12x-1+12<-12.

  又x<0,∴f(x)=(12x-1+12)x>0.

  由f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)>0.

  综上,当x∈R,且x≠0时,函数f(x)>0.

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