3.通过“解剖麻雀”，讲清楚数学的深刻理论是怎么想出来的

　　伽罗瓦在1829?1831年间彻底解决了一元n次方程是否可用根式求解的问题。他给出了方程可用根式求解的充分必要条件，创立了深刻的理论（后人称之为伽罗瓦理论），由此引发了代数学的革命性变化。古典代数学以研究方程的根为中心。伽罗瓦理论创立以后，代数学转变为以研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算的映射）为中心，由此创立了近世代数学（也称为抽象代数学）。

　　我们在近世代数课的教学中，通过“解剖麻雀”，讲清楚伽罗瓦理论是怎么想出来的。考虑4次一般方程

　　x4+px2+q=0,(1)

　　其中p,q是两个无关不定元。方程(1)的系数所属的域为Q[p,q]的分式域Q(p,q)，简记作K，把K称为方程(1)的系数域。方程(1)有4个根：

　　.._|-P+VP2-4q.._|-p+Vp2-4qX1_a]2，X22，

　　.._|-p-VP2-4q.._|-p-VP2-4qX3_a]2，X42'

　　这表明方程(1)可用根式求解。我们来仔细分析方程(1)可用根式求解的过程。先要开平方Vp2-4q，把它记作d，则d2eK，但是d不属于K.令K(d)={a+bdIa,beK},则K(d)是一个域，称它为K

　　添加d得到的域，记作&。接着要开平方

　　把它记作4，则42eK1；$K2=Ki(dO。还要

　　开平方把它记作4，则I2ek2，$k3=k2

　　(d2)。于是

　　xi=x2=-<!]_,x3=d2,x4=_d2.从而x1;x2,x3,x4GK3。因此在K3[x]中多项式x4

　　+px2+q可以分解成一次因式的乘积，从而&是x4+pX2+q的分裂域，并且有KgKicK2cK3o由此抽象出下述概念：

　　设f(x)是域F上次数大于0且首项系数为1的多项式，并且f(x)的分裂域为E，如果存在一

　　个域LgE，且有FgFr+1=L，

　　其中Fi+1=Fi(di),且dinieFii=l,…,r，那么方程f(x)=0称为在域F上是根式可解的。

　　于是按照上述定义方程(1)是根式可解的。现在来探索为什么方程(1)是根式可解的。观察方程(1)的4个根，发现它们之间有系数属于K的下述关系：

　　X]+X。-0?X3+X4-0.(2)

　　把x^x^x^xdii成的集合记作Q={1,2,3,4}。在4元对称群54中，有且只有下述8个置换保持(2)式成立：

　　(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),

　　(14)(23),(1423),(1324),

　　它们组成的集合0是54的一个子群，称它为方程

　　(1)关于域K的群。

　　方程(1)的4个根其系数属于1^的关系除了

　　(2)式外还有：

　　Xi2-x32=d,X12-x42=d,x22-x42=d,x22-x32=d,(3)

　　G中保持⑶式成立的所有置换组成的集合H1={⑴,(12),(34),(12)(34)}是G的一个子群，称它为方程(1)关于域A的群。

　　方程(1)的4个根其系数属于&的关系除了(2)、（3)式外还有：

　　x厂x2=2dl5(4)

　　札中保持(4)式成立的所有置换组成的集合比={(1),(34)}是札的'一个子群，称它为方程(1)关于域&的群。

　　方程(1)的4个根其系数属于&的关系除了(2)、（3)、（4)式外还有：

　　x3-x4=2d2,(5)

　　H2中保持⑶式成立的所有置换组成的集合丨是4的一个子群，称它为方程⑴关于域k3的群。

　　由于指数为2的子群是正规子群，因此1^是G的正规子群，比是札的正规子群，士是比的正规子群。又有G/Hi,H1/H2,H2/H3都是交换群，因此G是可解群。由此猜测有下述结论：

　　方程根式可解的判别准则：在特征为0的域F上的方程f(x)=0根式可解的充分必要条件是

　　这个方程关于域F的群是可解群。

　　为了论证这个猜测，我们继续“解剖麻雀”。方程(1)关于域K的群G中每个元素0保持方程(1)的根之间其系数属于K的全部代数关系不变，从而0保持K的任一元素不变，即。在K上的限制是K上的恒等变换。由于&是多项式x4+px2+q的分裂域，即&是包含方程(1)的全部根X1;X2,X3,X4的最小的域，且d=Xi2-X32,d1=x1,d2=X3，以及oes4，因此0引起了k3到自身的一个双射。还可以证明。引起的这个映射(仍记作0)保持K3的加法和乘法运算，因此0是K3的一个自同构。于是引出一个概念：

　　设域E包含域F，域E的一个自同构如果在F上的限制是F上的恒等变换，那么把它称为域E的一个F-自同构。容易看出，域E的所有F-自同构组成的集合对于映射的乘法成为一个群，称它为E在F上的伽罗瓦群，记作Gal(E/F)。

　　于是。eGal(K3/K)，从而GcGal(K3/K)。反之，任给TGGal(K3/K)，由于X^X2,X3,X4两两不等，因此t可以看成是D={1,2,3,4}上的一个置换，并且t保持方程(1)的根之间其系数属于K的全部代数关系不变，从而TGG。因此G=Gal(K3/K)。同理，&=Gal(K3/K±)，H2=Gal(K3/K2)，H3=Gal(K3/K3)。这样我们看到了一个有趣的事情：

　　KcKicK2cK3,

　　Gal(K3/K)^Gal(K3/K±)^Gal(K3/K2)^Gal(K3/K3).

　　设G是域E的一个自同构群，E中被G的每个元素保持不动的元素组成的集合是E的一个子域，称它为G的不动域，记作Inv(G)。

　　设域E包含域F，则称E是F上的域扩张，记作E/F;E的包含F的任一子域称为E/F的中间域。在上述例子中，Gal(K^K)的不动域恰好是K，Gal(K3/Ki)的不动域恰好是&，Gal(K3/K2)的不动域恰好是&，Gal(&/K3)的不动域恰好是K3，由此引出一个概念：

　　如果域扩张E/F的伽罗瓦群Gal(E/F)的不动域恰好是F，那么称E/F为一个伽罗瓦扩张。从上述有趣的事情我们猜测有下述结论：

　　设E/F为一个有限伽罗瓦扩张，记G=Gal(E/F)，则在E/F的所有中间域组成的集合与G的所有子群组成的集合之间存在一个一一对应：中间域K对应于Gal(E/K)，子群H对应于它的不动域Inv(H)，Inv(Gal(E/K))=K;这个一一对应是反包含的，即

　　KicK2^Gal(E/Ki)^Gal(E/K2).

　　伽罗瓦发现并且证明了这个结论，现在称它为伽罗瓦基本定理（这里没有写出伽罗瓦基本定理的其它3个结论）。伽罗瓦运用这个基本定理证明了方程根式可解的判别准则。

　　4.抓住主线，全局在胸，科学地安排讲授体系

　　高等代数课程的主线是研究线性空间及其态射（即线性映射）。为了自然而然地引出线性空间的概念，《高等代数》（丘维声著，科学出版社）的第一章讲线性方程组的解法和解的情况的判定;第二章讲行列式，给出了n个方程的n元线性方程组有唯一解的充分必要条件；第三章为了对数域K上的n元线性方程组直接从系数和常数项判断它有没有解和有多少解，在所有n元有序数组组成的集合Kn中引进加法和数量乘法运算，它们满足8条运算法则，我们抓住几何空间，Kn的共同的主要特征自然而然地引出了线性空间的概念，然后去研究线性空间的结构。讲完线性空间之后，一种讲法是立即讲线性映射。但是研究线性映射一方面是从映射的角度讲线性映射的运算，线性映射组成的集合的结构，以及线性映射的核与像；另一方面是研究线性映射的矩阵表示，特别是研究线性变换的最简单形式的矩阵表示。因此我们在第四章讲矩阵的运算，既为研究线性映射打下基础，又为信息时代迅速崛起的离散数学中应用越来越广泛的矩阵加强了矩阵的分块、矩阵的打洞的训练。为了研究线性变换的最简单形式的矩阵表示，需要用到一元多项式环的通用性质，因此我们在第五章讲一元多项式环的结构及其通用性质，并且水到渠成地引出了环和域的概念。第六章讲线性映射（包括线性变换和线性函数）。为了在线性空间中引进度量概念，第七章讲双线性函数，并且用到研究二次型上。第八章讲具有度量的线性空间，以及与度量有关的变换。第九章讲n元多项式环。

　　解析几何课程的主线是研究几何空间的线性结构和度量结构，在此基础上并且用变换的观点研究图形的性质和分类。

　　近世代数课程的主线是研究代数系统（群，环，域，模）的结构及其态射（即保持运算的映射）。群论的主线是群同态；环论的主线是环的理想；域论的主线是域扩张，其目标是伽罗瓦理论。

　　5.精心设计板书，清晰现思维过程

　　例如，我在讲了线性空间V的子空间的交与和的概念后，一边讲述，一边板书如下：

　　[板书第1行，预留11个字的空位]设％,V2是数域K上线性空间V的有限维子空间，则[讲述]有％与?2的和与交；[板书第2行，在每个子空间前面预留3个字母的空位]Vi+v2Viv2Vinv2[讲述]%+v2是不是有限维的？如果是，它的维数与mn4的维数有什么关系？

　　[在板书第2行的每个子空间前面上填写3个字母]

　　(11111(3^+V2)dimV±dimV2dim(ViHV2)

　　[讲述]让我们解剖一个“麻雀”：几何空间中，设与7T2是过定点0的两个相交平面，在板书第1，2行的右侧画图，本文就不画了]

　　[一边讲述，一边在图上继续画]几何空间中，任意一个向量a可以表示成a=a±+a2，其中a2eji：2。于是％+?等于几何空间。又%n712是过定点0的一条直线，因此

　　[在图下方板书]dim(ji：i+jt2)=3=2+2-1=dimjt!+dimjt2-fljt2)-

　　[讲述]由此我们猜测对于线性空间V的有限维子空间V2有下述结论：

　　[在板书第2行上填写]dim(+V2)=dim+dimV2-dim(ViHV2)

　　[讲述]下面我们来证明这个猜测是真的。

　　[板书证明过程，本文就不写出了]

　　[讲述]这样我们得到了子空间的交与和的维数公式：

　　[在板书第1行预留的11个字的空位上填写]定理1(子空间的维数公式）设％,%是数域K上线性空间V的有限维子空间，则这样讲课和板书是提出了问题，引导学生去探索，从几何空间的例子，猜测出子空间的维数公式，然后才去证明。这有利于培养学生的创新能力。

　　以上是我们在几十年的教学中用数学的思维方式教数学的一些做法，与老师们交流。

【用数学的思维方式教数学论文】相关文章：

1.用数学的教学反思

2.教小学生用仿冒造句

3.教妈妈学用微信作文

4.我教奶奶用微信优秀作文

5.中学的数学论文

6.苏教版小学数学论文

7.小学生数学论文怎么写

8.小学数学论文怎么写