基本不等式的训练题

时间:2021-08-31

  基本不等式训练题

  1.若xy>0,则对 xy+yx说法正确的是( )

  A.有最大值-2 B.有最小值2

  C.无最大值和最小值 D.无法确定

  答案:B

  2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是( )

  A.400 B.100

  C.40 D.20

  答案:A

  3.已知x≥2,则当x=____时,x+4x有最小值____.

  答案:2 4

  4.已知f(x)=12x+4x.

  (1)当x>0时,求f(x)的最小值;

  (2)当x<0 时,求f(x)的最大值.

  解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.

  ∴12x+4x≥212x4x=83.

  当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,

  ∴当x>0时,f(x)的最小值为83.

  (2)∵x<0,∴-x>0.

  则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x-4x=83,

  当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.

  ∴当x<0时,f(x)的最大值为-83.

  一、选择题

  1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是( )

  A.x+12x B.x2-1+1x2-1

  C.2x+2-x D.x(1-x)

  答案:C

  2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是( )

  A.32-3 B.-3

  C.62 D.62-3

  解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

  3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是( )

  A.200 B.100

  C.50 D.20

  解析:选A.m2+n2≥2mn=200 高中英语,当且仅当m=n时等号成立.

  4.给出下面四个推导过程:

  ①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2baab=2;

  ②∵x,y∈(0,+∞),∴lgx+lgy≥2lgxlgy;

  ③∵a∈R,a≠0,∴4a+a ≥24aa=4;

  ④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

  其中正确的推导过程为( )

  A.①② B.②③

  C.③④ D.①④

  解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.

  ①∵a,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;

  ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,∴②的推导过程是错误的;

  ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件,

  ∴4a+a≥24aa=4是错误的;

  ④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.

  5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )

  A.2 B.22

  C.4 D.5

  解析:选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.

  6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有( )

  A.最大值64 B.最大值164

  C.最小值64 D.最小值164

  解析:选C.∵x、y均为正数,

  ∴xy=8x+2y≥28x2y=8xy,

  当且仅当8x=2y时等号成立.

  ∴xy≥64.

  二、填空题

  7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

  答案:1

  8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.

  解析:1=x+4y≥2x4y=4xy,∴xy≤116.

  答案:大 116

  9.(2010年山东卷)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.

  解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.

  当且仅当x3=y4时取等号.

  答案:3

  三、解答题

  10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;

  (2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

  解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.

  ∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

  ≥2 x+14x+1+5=9,

  当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.

  ∴x=1时,函数的最小值是9.

  (2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

  =(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.

  ∴(x-1)+9x-1+2≥2x-19x-1+2=8.

  当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,

  ∴y有最小值8.

  11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

  证明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,

  ∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,

  同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,

  以上三个不等式两边分别相乘得

  (1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

  当且仅当a=b=c时取等号.

  12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

  问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

  解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.

  总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

  =800×(x+225x)+12000

  ≥1600x225x+12000

  =36000(元)

  当且仅当x=225x(x>0),

  即x=15时等号成立.

  女主人

  四位女士在玩一种纸牌游戏,其规则是:(a)在每一圈中,某方首先出一张牌,其余各方就要按这张先手牌的花色出牌(如果手中没有这种花色,可以出任何其他花色的牌);(b)每一圈的获胜者即取得下一圈的首先出牌权。现在她们已经打了十圈,还要打三圈。

  (1)在第十一圈,阿尔玛首先出一张梅花,贝丝出方块,克利奥出红心,黛娜出黑桃,但后三人的这个先后顺序不一定是她们的出牌顺序。

  (2)女主人在第十二圈获胜,并且在第十三圈首先出了一张红心。

  (3)在这最后三圈中,首先出牌的女士各不相同。

  (4)在这最后三圈的每一圈中,四种花色都有人打出,而且获胜者凭的都是一张“王牌”。(王牌是某一种花色中的任何一张牌:(a)在手中没有先手牌花色的情况下,可以出王牌――这样,一张王牌将击败其他三种花色中的任何牌;(b)与其他花色的牌一样,王牌可以作为先手牌打出。)

  (5)在这最后三圈中,获胜者各不相同。