高三文科数学下学期试题(2)
时间：2021-08-312012年福建省普通高中毕业班质量检查
文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1. B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B
7. D 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
13.1 ;14. ; 15.2; 16.①.
三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.
(Ⅰ)解：由已知得 ，2分
又 成等比数列，所以 ，4分
解得 ， 5分
所以 . 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，8分
所以
. 12分
18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.满分12分.
解：(Ⅰ)∵平面 ， ，
， 2分
又∵ ， . 4分
(Ⅱ)(1)在 .
.
在 .
. 6分
(2)，在 ，过点 做 于 ， .
， 7分
. 8分
(Ⅲ)在线段 上存在点N，使得 ，理由如下：
(2)在 中， ，
， 9分
过点E做 交 于点N，则 ，
∵ ， 10分
又 ， ， ，
又 ， .
在线段 上存在点N，使得 ，此时 .12分
19.本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.
解法一：(Ⅰ)因为 ， ①
， ②2分
①-② 得 . ③3分
令 有 ，
代入③得 . 6分
(Ⅱ)由二倍角公式, 可化为
,8分
即 .9分
设 的三个内角A,B,C所对的边分别为 ，
由正弦定理可得 .11分
根据勾股定理的逆定理知 为直角三角形.12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 可化为
，8分
因为A,B,C为 的内角，所以 ，
所以 .
又因为 ，所以 ,
所以 .
从而 .10分
又因为 ,所以 ，即 .
所以 为直角三角形. 12分
20.本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等.满分12分.
解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为 ，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为 .
所以5天任取2天的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种. 4分
其中符合条件的有：
， ， ， ， ， 共6种. 6分
所以所求的概率 . 8分
(Ⅱ)去年该居民区PM2.5年平均浓度为： (微克/立方米).
10分
因为 ，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. 12分
21. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.
解法一：(Ⅰ)由条件可知，点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其方程为 .4分
(Ⅱ)假设 是直角三角形，不失一般性，设 ，
， ， ，则由 ，
， ，
所以 .6分
因为 ， ， ，
所以 .8分
又因为 ，所以 ， ，
所以 . ①
又 ，
所以 ，即 . ②10分
由①，②得 ，所以 . ③
因为 .
所以方程③无解，从而 不可能是直角三角形.12分
解法二：(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设 ， ， ，由 ，
得 ， .6分
由条件的对称性，欲证 不是直角三角形，只需证明 .
当 轴时， ， ，从而 ， ，
即点 的坐标为 .
由于点 在 上，所以 ，即 ，
此时 ， ， ，则 .8分
当 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为： ，代入 ，
整理得： ，则 .
若 ，则直线 的斜率为 ，同理可得： .
由 ，得 ， ， .
由 ，可得 .
从而 ，
整理得： ，即 ，①
.
所以方程①无解，从而 .11分
综合 ， ， 不可能是直角三角形.12分
22. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想.满分12分.解法一：(Ⅰ)因为 ，所以 ，
函数 的图象在点 处的切线斜率 .
由 得： . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，令 .
因为 ， ，所以 在 至少有一个
根.
又因为 ，所以 在 上递增，
所以函数 在 上有且只有一个零点，即方程 有且只有一
个实根. 7分
(Ⅲ)证明如下：
由 ， ，可求得曲线 在点 处的切
线方程为 ，
即 . 8分
记
，
则 . 11分
(1)当 ，即 时， 对一切 成立，
所以 在 上递增.
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
即存在点 ，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧. 12分
(2)当 ，即 时，
时， ; 时， ;
时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ;当 时， ，
即曲线在点 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧. 13分
(3)当 ，即 时，
时， ; 时， ; 时， .
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， ;当 时， ，
即曲线在点 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.
综上，存在唯一点 使得曲线在点 附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧. 14分
解法二：(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)证明如下：
由 ， ，可求得曲线 在点 处的切
线方程为 ，
即 . 8分
记
，
则 . 11分
若存在这样的点 ，使得曲线 在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当 ，即 时，
t不是极值点，即 .
所以 在 上递增.
又 ，所以当 时， ;当 时， ，
即存在唯一点 ，使得曲线在点 附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧. 14
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