《鸽巢问题》教学设计

　　教学目标：

　　1、引导学生经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会运用鸽巢原理解决一些简单的实际问题。

　　2、通过操作、观察、比较、列举、假设、推理等活动发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。

　　3、使学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想。

　　教学重点：经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理。

　　教学难点：理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。

　　教学过程：

　　一、创设情境、导入新课

　　1、师：同学们，你们玩过扑克牌吗？这里有一副牌，拿掉大小王后还剩52张，5位同学随意抽一张牌，猜一猜：至少有几张牌的花色是一样的？（指名回答）

　　2、师：大家猜对了吗？其实这里面藏着一个非常有趣的数学问题，叫做“鸽巢问题”。今天我们就一起来研究它。

　　二、合作探究、发现规律

　　师：研究一个数学问题，我们通常从简单一点的情况开始入手研究。请看大屏幕。（生齐读题目）

　　1、教学例1：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

　　（1）理解“总有”、“至少”的含义。（PPT）总有：一定有 至少：最少

　　师：这个结论正确吗？我们要动手来验证一下。

　　（2）同学们的课桌上都有一张作业纸，请同桌两人合作探究：把4支铅笔放进3个笔筒里，有几种不同的`摆法?

　　探究之前，老师有几个要求。（一生读要求）

　　（3）汇报展示方法，证明结论。（展示两张作品，其中一张是重复摆的。）

　　第一张作品：谁看懂他是怎么摆的？（一生汇报，发现重复的摆法）

　　第二张作品：他是怎么摆的？这4种摆法有没有重复的？还有其他的摆法吗？板书：（3，1，0）、（4，0，0）、（2，2，0）、（1，1，2）

　　师：我们要证明的是总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这4种摆法都满足要求吗？（指名汇报：第一种摆法中哪个笔筒满足要求？只要发现有一个笔筒里至少有2支铅笔就行了。）总结：把4支铅笔放进3个笔筒中一共只有四种情况，在每一种情况中，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。看来这个结论是正确的。

　　师：像这样把所有情况一一列举出来的方法，数学上叫做“枚举法”。（板书）

　　（4）通过比较，引出“假设法”

　　同桌讨论：刚才我们把4种情况都列举出来进行验证，能不能找到一种更简单直接的方法，只摆一种情况就能证明这个结论是正确的？

　　引导学生说出：假设先在每个笔筒里放1支，还剩下1支，这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒里就有2支铅笔了。（PPT演示）

　　（5）初步建模—平均分

　　师：先在每个笔筒里放1支，这种分法实际上是怎么分的？

　　生：平均分（师板书）

　　师：为什么要去平均分呢？平均分有什么好处？

　　生：平均分可以保证每个笔筒里的笔数量一样，尽可能的少。这样多出来的1支不管放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。（如果不平均分，随便放，比如把4支铅笔都放到一个笔筒里，这样就不能保证一下子找到最少的情况了）

　　师：这种先平均分的方法叫做“假设法”。怎么用算式表示这种方法呢？

　　板书：4÷3＝1……1 1+1＝2

　　（5）概括鸽巢问题的一般规律

　　师：现在我们把题目改一改，结果会怎样呢？

　　PPT出示：把5支笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支笔？……（引导学生说清楚理由）

　　师：为什么大家都选择用假设法来分析？（假设法更直接、简单）

　　通过这些问题，你有什么发现？

　　交流总结：只要笔的数量比笔筒数量多1，总有一个笔筒里至少放进2支笔。

　　过渡语：师：如果多出来的数量不是1，结果会怎样呢？

　　2、出示：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进了几只鸽子呢?

　　（1）同桌讨论交流、指名汇报。

　　先让一生说出5÷3＝1……2 1+2＝3 的结果，再问：有不同的意见吗？

　　再让一生说出5÷3＝1……2 1+1＝2

　　师：你们同意哪种想法？

　　（2）师：余下的2只怎样飞才更符合“至少”的要求呢？为什么要再次平均分？

　　（3）明确：再次平均分，才能保证“至少”的情况。

　　3、教学例2

　　（1）师：我们刚才研究的把笔放入笔筒、鸽子飞进鸽笼这样的问题就叫做“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。它最早是由德国数学家狄利克雷发现并提出的，当他发现这个问题之后决定继续深入研究下去。出示例2。

　　（2）独立思考后指名汇报。

　　师板书：7÷3＝2……1 2+1＝3

　　（3）如果有8本书会怎样？10本书呢？

　　指名回答，师相机板书：8÷3＝2……2 2+1＝3

　　师：剩下的2本怎么放才更符合“至少”的要求？

　　为什么不能用商+2？

　　10÷3＝3……1 3+1＝4

　　（4）观察发现、总结规律

　　同桌讨论交流：学到这里，老师想请大家观察这些算式并思考一个问题，把书放进抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几本书？我们是用什么方法去找到这个结果的？（假设法，也就是平均分的方法）用书的数量去除以抽屉的数量，会得到一个商和一个余数，最后的结果都是怎么计算得到的？为什么不能用商加余数？

　　归纳总结：总有一个抽屉里至少可以放“商+1”本书。（板书: 商+1）

　　三、巩固应用

　　师：利用鸽巢问题中这个原理可以解释生活中很多有趣的问题。

　　1、做一做第1、2题。

　　2、用抽屉原理解释“扑克表演”。

　　说清楚把4种花色看作抽屉，5张牌看作要放进的书。

　　四、全课小结通过这节课的学习，你有什么收获或感想？

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