高三数学不等式、推理与证明训练试题集

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

　　1．下列符合三段论推理形式的为( )

　　A．如果pq，p真，则q真

　　B．如果bc，ab，则ac

　　C．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥c

　　D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc

　　解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.

　　答案：B

　　2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )

　　①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；

　　②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等．

　　A．① B．② C．①②③ D．③

　　解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.

　　答案：C

　　3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )

　　A．假设2是有理数 B．假设3是有理数

　　C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数

　　解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.

　　答案：D

　　4．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )

　　A．1 B．2 C．n2 D．2n

　　解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.

　　答案：A

　　5．在下列函数中，最小值是2的是( )

　　A．y＝x2＋2x

　　B．y＝x＋2x＋1(x＞0)

　　C．y＝sinx＋1sinx，x∈(0，π2)

　　D．y＝7x＋7－x

　　解析：A中x的取值未限制，故无最小值．

　　D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.

　　B、C选项均找不到等号成立的条件.

　　答案：D

　　6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为( )

　　A．－6 B．6 C．－5 D．5

　　解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，

　　∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，

　　∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×(－2)＝6.

　　答案：B

　　7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )

　　A．2 B．22 C．4 D．5

　　解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.

　　答案：C

　　8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤k(x－1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )

　　A．(－∞，－1) B．(－1,2)

　　C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)

　　解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：

　　若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．

　　若k＞0，将阴影部分的点如(0,0)代入y≤k(x－1)－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝k(x－1)－1是过定点(1，－1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，

　　故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.

　　答案：A

　　9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是( )

　　(1)1a＜1b； (2)a3＞b3；

　　(3)a2＋1＞b2＋1; (4)2a＞2b.

　　A．(2)(3) B．(1)(3) C．(3)(4) D．(2)(4)

　　解析：∵a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确．

　　∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故(2)正确．

　　∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故(4)正确.

　　答案：D

　　10．设函数f(x)＝－3 (x＞0)，x2＋bx＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )

　　A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]

　　C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)

　　解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.

　　又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，

　　令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；

　　当x＞0时，f(x)＝－2≤1显然成立．

　　故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).

　　答案：C

　　11．若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是( )

　　A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22

　　解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得

　　(x－1)2＋(y－2)2＝11，

　　若2ax＋by－2＝0平 分圆，

　　∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，

　　∴2a＋1b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab

　　≥3＋2 2baab＝3＋22，

　　当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.

　　答案：C

　　12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )

　　A．5 km处 B．4 km处

　　C．3 km处 D．2 km处

　　解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，

　　把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，

　　∴y1＝20x ，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，

　　费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，

　　当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.

　　答案：A

第Ⅱ卷 (非选择 共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

　　13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

　　仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，53的“分裂”中最小的数是 .

　　解析：由已知中“分裂”可得

　　故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.

　　答案：9 21

　　14．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.

　　解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，

　　15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．

　　解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，

　　a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an

　　＝(a1＋a2＋…＋an)－1a1＋1a2＋…＋1an

　　＝a1(1－qn)1－q－1a11－1qn1－1q＝a1(1－q4)1－q－q(1－qn)a1(1－q)qn≥0，

　　∴a1(1－qn)1－q≥q(1－qn)a1(1－q)qn.

　　因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，

　　∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.

　　答案：5

　　16．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．

　　解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，

　　即yx∈13，2，故令t＝yx，

　　则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.

　　答案：－83，32