导数的概念测试题
时间：2021-08-31导数的概念测试题汇编
1.函数在某一点的导数是()
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B.一个函数
C.一个常数，不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.
2.如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为()
A.6 B.18
C.54 D.81
[答案] B
[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，
s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332
=18t+3(t)2st=18+3t.
当t0时，st18，故应选B.
3.y=x2在x=1处的导数为()
A.2x B.2
C.2+x D.1
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x2，x=1，
y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2
yx=2+x
当x0时，yx2
f(1)=2，故应选B.
4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的'单位：m，t的单位：s)，则t=5时的瞬时速度为()
A.37 B.38
C.39 D.40
[答案] D
[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，
s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故应选D.
5.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是()
A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函数值的增量
B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函数在x0到x0+x之间的平均变化率
C.f(x)在x0处的导数记为y
D.f(x)在x0处的导数记为f(x0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.
6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y|x=x0，即()
A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)
B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]
C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x
D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.
7.函数y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于()
A.4a B.2a+b
C.b D.4a+b
[答案] D
[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx
=4a+b+ax，
y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故应选D.
8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.直线
[答案] D
[解析] 当f(x)=b时，f(x)=0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
9.一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则物体的初速度为()
A.0 B.3
C.-2 D.3-2t
[答案] B
[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，
s(0)=limt0 st=3.故应选B.
10.设f(x)=1x，则limxa f(x)-f(a)x-a等于()
A.-1a B.2a
C.-1a2 D.1a2
[答案] C
[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a
=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.
二、填空题
11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11，则
limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.
[答案] -11，-112
[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x
=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=-12f(x0)=-112.
12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.
[答案] 0
[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11
=x-1+1x+1=(x)2x+1，
yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.
13.已知函数f(x)=ax+4，若f(2)=2，则a等于______.
[答案] 2
[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，
f(1)=limx0 yx=a.a=2.
14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，则limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.
[答案] 8
[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3
=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.
由于f(3)=2，上式可化为
limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.
三、解答题
15.设f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).
[解析] 由导数定义有f(x0)
=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，
16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪射出时所用时间为1.610-3s，求枪弹射出枪时的瞬时速度.
[解析] 位移公式为s=12at2
∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2
st=at0+12at，
limt0 st=limt0 at0+12at=at0，
已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，
at0=800m/s.
所以枪弹射出枪时的瞬时速度为800m/s.
17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).
[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x
=(1+x)2+3-12-3x=2+x.
(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x
=limx0 (2+x)=2.
18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有，求出来，若没有，说明理由.
[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)
y=f(0+x)-f(0)=f(x)
=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)
limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，
limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，
∵limx0- ylimx0+ yx，x0时，yx无极限.
函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数，即不可导.(x0+表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)
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