1.从甲地到乙地，如果车速每小时提高20千米，那么时间由4小时变为3小时。甲乙两地相距 千米。

　　240

　　3个小时多行20×3＝60（千米），这60千米原来需行1小时，所以两地相距60×4＝240（千米）。

　　根据比例关系，原来与现在所用时间比为4︰3,则原来与现在的速度比为3︰4,所以按比例分配得，现在的速度为20÷（4-3）×4＝80（千米），所以路程为80×3＝240（千米）。

　　13. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 ___ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同.

　　46

　　十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有 ＝45种不同的报名方法．

　　那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．

　　14.

　　20. 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π=3.14）

　　565.2立方厘米

　　设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：

　　S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，

　　2S=180π=565.2（立方厘米）

　　S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

　　4．如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是 。

　　5

　　由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x3。

　　对10500做质因数分解：

　　10500=22×3×53×7，

　　所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,

　　所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

　　5．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟.

　　125分钟

　　不难得知应先安排所需时间较短的人打水．

　　不妨假设为：

　　第一个水龙头

　　第二个水龙头

　　第一个

　　A

　　F

　　第二个

　　B

　　G

　　第三个

　　C

　　H

　　第四个

　　D

　　I

　　第五个

　　E

　　J

　　显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2次，E、J计算了1次．

　　那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10．

　　所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分钟．

　　评注：下面给出一排队方式：

　　第一个水龙头

　　第二个水龙头

　　第一个

　　1

　　2

　　第二个

　　3

　　4

　　第三个

　　5

　　6

　　第四个

　　7

　　8

　　第五个

　　9

　　10

　　想象一下，如果你去理发店理发，只需要一分钟，可能这时已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她可能很轻松地答应你了。

　　可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难同意她的要求，而且大家都认为她的要求不合理，这是为什么呢？

　　可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是：

　　S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E

　　所以，要想使总时间S最小，则要A<B<C<D<E.

　　两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则:

　　（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

　　6.用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体(见右图). 留下的多面体的表面积是________.

　　142.

　　大长方体的长、宽、高都大于2，否则所有的小正方体都在棱上，与题意不符. 140分解成3个大于2的自然数的乘积只有457，所以大长方体的长、宽、高分别是4，5，7，表面积是

　　(45+47+57)2=166.

　　拆下沿棱的小正方体后，对比原来的表面积，相当于每个面减少4或每个角减少3，表面积为

　　166-46=142 或 166-38=142.

　　整体思考的经典范例，一是从整体考虑前后表面积的变化关系，看变化可以简化运算。

　　二是，如何看变化，本题可以用“阳光照面”法。

　　7. 在三位数中，个位、十位、百位都是一个数的平方的共有 个。

　　48

　　百位有1、4、9三种选择，十位、个位有0、1、4、9四种选择。满足题意的三位数共有

　　3×4×4＝48（个）。

　　8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是 。

　　60060

　　2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060。

　　12.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌：

　　红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5