《1.2 应用举例（2）》测试题

　　一、选择题

　　1.有一长为米的斜坡，它的坡度为，公路建设部门根据要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度变为，则坡底将伸长( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本应用.

　　答案：D.

　　解析：如图，原斜坡为，填土后的斜坡为，要求的长. 根据题意可知，，，，根据正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面积公式、直角三角形边角关系或余弦定理，以及三角恒等变形能力.

　　答案：A.

　　解析：根据已知条件，四个等腰三角形的面积之和为，由直角三角形的边角关系得正方形的边长为，所以该八边形的面积为 .

　　3.(由2009浙江文改编)在中，角所对的边分别为，且满足，若．则的面积为( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式、向量的数量积以及运算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面积为.

　　二、填空题

　　4.(2011上海理)在相距2千米的两点处测量目标，若，，则两点之间的距离是 千米.

　　考查目的：考查三角形内角和定理、正弦定理的应用.

　　答案：.

　　解析：根据三角形内角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为，则这个三角形的面积为 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面积公式.

　　答案：.

　　解析：不妨设的边，，，则由余弦定理得，两式联立解得，，∴.

　　6.我舰在岛南偏西方向相距的处发现敌舰正从岛沿北偏西的方向以每小时的速度航行，若我舰要用小时追上敌舰，则我舰追击的速度为 ，方向为 (精确到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的应用.

　　答案：小时，北偏东.

　　解析：设我舰以速度航行，在处追上敌舰. 在中，由题意知，，，，所以根据余弦定理得，，∴.设我舰追击的方向为北偏东角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答题：

　　7.(2008上海)如图，某住宅小区的平面图呈扇形．小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路，，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟．若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长(精确到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解决实际问题的能力以及运算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)设该扇形的半径为米. 由题意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)连接，作，交于，由题意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的对边分别为，为边上的高，且，试求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面积公式、三角函数的恒等变形和性质以及运算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 两边同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中为锐角，且)，∴的最大值为.

　　数学的三次危机——第一次数学危机

　　从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

　　在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

　　数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

　　一、第一次数学危机

　　从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

　　整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

　　有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

　　古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

　　无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。