全国高中数学联赛模拟试题1及答案
时间：2021-08-31全国高中数学联赛模拟试题（一）
第一试
一、 选择题：（每小题6分，共36分）
1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是
x 1
（A）x≥2 （C）x≤0
（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥2
3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O
为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则参
2
数a的取值范围是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、在1,2,3,4,5的.排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4
＞a5的排列的个数是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、 填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程
1
×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2
是 ．
2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ．
5
4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝ ．
313
5、设k、 是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为
sin 和cos ，则 的取值范围是． 6、数5 24
2n
（n∈N）的个位数字是
三、 （20分）
已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．
求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．
四、 （20分）
（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根
皆为整数．
（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－
2a＝0有三个整数根．
五、 （20分）
试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何 ∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．
第二试
一、（50分）
设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．
a2 b a c z
求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．
ac b
二、（50分）
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，
D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证： （1） AK⊥BC；
（2） AK AP AQ
2S△ABC
，其中S△ABC表BC
示△ABC的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：
ai4
(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1
n
确定和式S
i 1
n
ai
的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1
参考答案
第一试
二、填空题：
1811587
1、 或；
3838
3、343；
2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、
53 12
； 26
5、{ | ＝2n ＋ 或2n －
，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 2
1 1 1
x z y z 1 x y
三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．
3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；
（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．
五、rmax＝42．
第二试
a c a c 4b i
一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成
2
2
立，然后利用反证法证明必要性）．
二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、
CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．
三、S
1
2S△ABC
＝AR＞AT＞BC
2n 12
1．
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