全国高中数学联赛模拟试题5及答案
时间：2021-08-31全国高中数学联赛模拟试题（五）
第一试
一、 选择题：（每小题6分，共36分）
1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个
结论
（1） 没有任何两个平面互相平行；
（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；
（4） 平面间的每一条交线均与n 2个平面相交． 其中，正确的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)
时，f(c)的近似值可表示为
（A）
f a f b
2
a b
（B）f
2
（C）
b c f a c a f b
b a（D）f a
c a
f b f a b a
3、设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则
（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关
x2y2 3
4、设椭圆2 2 1的离心率e ，已知点P 0, 到椭圆上的点的最远
2ab 2 7
，则短半轴之长b= 4
1111
（A） （B） （C） （D）
48216
5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等
差数列．那么，这样的三元子集A的个数是
距离是
（A）C32003
22
（B）C1001 C1002
22
（C）A1001 A1002（D）A32003
6、长方体ABCD A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关
二、 填空题：（每小题9分，共54分）
sin3 cos3
1、已知 k，则k的取值范围为 ．
sin cos 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个．
a
3、在四面体P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取
b
值范围为 ．
4、动点A对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ． 5、 3k被8所除得的'余数为 ．
k 12003
6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．
三、 （20分）
已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y
轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．
四、 （20分）
单位正方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M． （1）求证：AN、B1M为异面直线； （2）求出AN与B1M的夹角．
五、 （20分）
对正实数a、b、c．求证：
a2 8bcb2 8acc2 8ab
≥9．
abc
第二试
一、 （50分）
设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时， （1）证明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．
二、 （50分）
给定由正整数组成的数列
a1 1,a2 2
（n≥1）．
an 2 an 1 an
（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点
(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…
均在曲线x2+xy y2+1=0上．
（2）若设f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，证明：g(x)整除f(x)．
三、 （50分）
我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．
求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b
9
满足b＜a≤b．
8
参考答案
第一试
二、填空题：
1 1
1、 1, ,1 ；
2 2
2、17；
2
x 1 4、
3、 2 3,1 ；
5、4；
4
y2
1； 3
6、117600．
l2 l2
,0 ,0 l 2p,M 8p8p
三、 ．
l ppl l p,l 2p,M 2
2,2 p 2
四、（1）证略；
五、证略．
（2）arccos
2． 3
第二试
一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．
二、证略（提示：用数学归纳法）．
三、m=117．
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