初三数学《两角差的余弦公式》说课稿

时间:2021-08-31

初三数学《两角差的余弦公式》说课稿

  各位评委、各位老师:

  大家上午好。

  今天我们上课的内容是《两角差的余弦公式》。

  首先,我们看两个问题:

  (1) cos( π —α ) = ?

  (2) cos( 2π — α) = ?

  大家根据诱导公式很快得出了答案,大家接着思考一个问题,当特殊角π和2π被一般角取代,

  (3) cos( α-β ) = ?

  大家猜想了多种可能,其中有同学猜想cos(α-β) = cosα-cosβ 那么这些结论是否成立?

  我们一起来用计算器验证。

  在这里我们做了与单位圆相交的两个角α,β,现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论 。首先任意取一组α,β角,模拟计算出 cos(α-β ); cosα-cosβ; sin α- sinβ; co sα-sin β;由结果推翻假设(反证法), 那么c o s ( α-β )到底等于什么呢? 现在我们来借助计算机的强大计算功能 ,由c o s ( α-β )的结果模拟可能的答案。

  计算机模拟结论

  cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板书)。

  变换不同的α,β角度,结论保持不变。 同学们观察分析该结论的构成,右边与向量夹角的坐标表示一致.

  联想向量数量积(黑板板书),用向量法证明:

  (1)先假设两向量夹角为θ,α–β在[0,π],α–β=θ此时结论成立,(2)α–β在[π,2π]时两向量夹角θ=2π-(α–β)

  此时 cos[2π-(α–β)]=cos(α–β)

  (3)α–β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0,2π] 综合三种情况,cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得证

  经过大家的猜想,计算,证明,我们得出两角差的余弦公式,有些同学开始产生疑问,我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误,都是两角差的余弦,结论似乎不一致,现在我们一起来探讨,揭开谜底。

  用两角差的`余弦公式证明问题(1)(2)。

  带入具体角度,用两角差余弦公式求cos15°= cos(45°— 30°),同学们试着将15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行)

  练习:

  证明: cos (α +β)= cos α  cos β-sin α  sin β

  思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导?

  我们的新课改提倡“减负”,从数学的角度,减负就是---“加正”,

  所以 α +β = α - (- β )

  由此cos (α +β)

  = cos [α - (- β )]

  =cosα cos( -β) +sin α sin(-β)

  = cosα cosβ-sin α sin β

  对比:

  两角和与差的余弦公式:

  cos (α –β)= cosα cosβ + sinα sinβ

  cos (α +β)= cosα cosβ - sinα sinβ

  余 余 异号 正 正

  化简求值:

  (1) cos105 °cos15 °+ sin105 °sin15 ° =cos90 °=0

  (2)cos(θ+20°)cos(θ-40°)+sin(θ+20°)sin(θ-40°) = cos60 =1/2

  (3)cos35 °cos10 ° - sin35 °sin10 °=cos45 °

  回顾反思:

  提出问题

  由两个熟悉的诱导公式入手,从特殊到一般,提出问题。

  探究问题

  假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——灵活应用——公式对照记忆。

  下节课需要解决的内容,通过已经证明的两角和余弦的思路,思考两角和差的正弦。

  作业布置:

  课本131页 第一题 和 第五题。

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