三角形教学设计

时间:2021-08-31

三角形教学设计

  在本章中约定用A,B,C分别表示△ABC的三个内角,a, b, c分别表示它们所对的.各边长, 为半周长。

  1.正弦定理: =2R(R为△ABC外接圆半径)。

  推论1:△ABC的面积为S△ABC=

  推论2:在△ABC中,有bcsC+ccsB=a.

  推论3:在△ABC中,A+B= ,解a满足 ,则a=A.

  正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以S△ABC= ;再证推论2,因为B+C= -A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcsC+csBsinC=sinA,两边同乘以2R得bcsC+ccsB=a;再证推论3,由正弦定理 ,所以 ,即sinasin( -A)=sin( -a)sinA,等价于 [cs( -A+a)-cs( -A-a)]= [cs( -a+A)-cs( -a-A)],等价于cs( -A+a)=cs( -a+A),因为0< -A+a, -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A,所以a=A,得证。

  2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccsA ,下面用余弦定理证明几个常用的结论。

  (1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2= (1)

  【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcs ,

  所以c2=AD2+p2-2ADpcs ①

  同理b2=AD2+q2-2ADqcs , ②

  因为 ADB+ ADC= ,

  所以cs ADB+cs ADC=0,

  所以q×①+p×②得

  qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=

  注:在(1)式中,若p=q,则为中线长公式

  (2)海伦公式:因为 b2c2sin2A= b2c2 (1-cs2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

  这里

  所以S△ABC=

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