二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。

　　例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。

　　解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。

　　若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立；

　　若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0

　　∴a的取值范围为［0，+∞）。

　　3、构建形如f（x）=ax+ 的函数

　　通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）=ax+ 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论：

　　（1）f（x）=ax+ 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0， 上递减，在 ，+∞上递增。

　　例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）对于x∈［-1，1］恒成立，求a的取值范围。

　　解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，则原问题等价于：当x∈［-1，1］时， ＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，则原问题又等价于：当t∈［-5，-3］时，t- +3＞a恒成立，构建函数f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上单调递增，∴0≤3+f（t） ≤ ，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。　　二、分离参数

　　运用不等式的相关知识不难推出如下结论：

　　若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＞g（a）恒成立，则f （x）＞g（a），若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＜g（a）恒成立，则f （x）＜g（a）。

　　例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）内恒成立，求a的取值范围。　　解：构造函数f（x）=|x-3|-|x+1|，则a必须大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范围为（4，+∞）。

　　三、特殊赋值

　　取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好方法。

　　例7：已知实数a，b变化时，直线l ：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0恒过定点

　　解：∵直线l 恒过定点，

　　故令a=1，b=1，得3x+2y=0

　　a=0，b=1，得x+y-1=0

　　∴3x+2y=0x+y-1=0

　　解之得：x=-2y=3，将（-2，3）代入l ，经检验，点恒满足方程（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0。