一般而言，分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前，儿童能用加减法层面的“差集”（6比2多4）或乘除法层面的“倍数”（6是2的3倍）来表示二数比较关系。在倍数中，比较量一般大于（或等于）标准量；分数的引进是要解决一个全新的问题：当比较量不足一个标准量时，如何表示二数关系。

　　关于分数概念，这里设计了一种与通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起学生思考。

　　关于“分数概念”的课堂设计：

　　准备：在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段，准备一根60厘米长的木棒（无刻度），线段长度分别是木棒的3倍、1倍、1／3。

　　木棒────

　　白线：───────────────────白线长度是木棒长度的3倍

　　红线：────────红线长度是木棒长度的1倍

　　绿线：─绿线长度是木棒长度的？

　　教师［演示］：用木棒分别量白线与红线，并板述；然后量绿线，提问。

　　教师：绿线长度是木棒长度的多少？

　　学生：……没有一棒长。

　　教师：没有“一棒”长，怎么表示？

　　学生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。

　　教师：（量得绿线长20厘米，木棒长60厘米）那么，绿线长度是木棒长度的多少？

　　60厘米

　　学生：木棒是绿线的3倍。

　　教师：这是我们以前学过的“倍数”；现在，我们反过来说：以木棒为标准，绿线是木棒的多少？

　　［演示］比着绿线将木棒3等分（用粉笔在木棒上画刻度）

　　［继续提问］现在想一想，怎样表示“绿线是木棒的多少？”）

　　……

　　导出：将木棒3等份，绿线是3份中的1份。

　　进而导出：绿线是木棒的1／3。

　　并将“倍数”与“分数”统一起来：都可表示两个数的比较。

　　这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法，更能调动学生积极的思考过程。也只有进行这样的思考，儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。

　　将有关“操作”和盘托出，不注重激起学生“反思”的教法，与两种不恰当的观念有关。其一是把数学运算等同于具体动作；其二是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。其实，数学运算应该包括三个呈递进关系的成分：（1）具体操作；（2）对具体操作的反省与反思；（3）在反思过程中进行某种转换或重组。

　　转换是对具体动作的转换，重组是对原有的、已习得的操作的重组。儿童在接触到分数之前，已学会了“比较”（一个数是另一个数据的几倍）与“等分”（除法）。现在面临新的问题：比较量不足一个标准量。在上述方案中，问题解决的过程，是学生积极思考的过程，也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成分类操作的过程（分数的内部操作包括：比较二数；等分标准量等）。

　　2.体会“必然”在上一小节中，我们强调在让学生动作操作的同时，应引导他们对具体动作进行反思，并在反思过程中进行转换与重组。但数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中，并非所有的因素都发生改变，而总隐含着某种不变的因素。由于某些不变因素的存在，数学运算显示出一种必然性。1＋2一定等于3；3×5一定等于15；π＝3.1415…是圆周与直径的比率，不是人为规定的；在两个班共同植树的实例中，解法不同而得数是不变的。

　　对数学运算的必然性的认识，往往是一种不自觉的“必然之感”。这种必然之感的获得，是儿童形成数学运算的标志。

　　指导学生认识数学运算的必然性，可利用日常的实例。数学运算往往都有其现实原型，而且有些原型能明晰地表征相应运算的涵义。如：教乘法口诀时，可让学生数一数一面窗子的格数。如果竖着有4行，每行5格，那么就是5×4＝20格。四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。它不是人为的任意编出的口诀，而是“必然”的。

　　3.融会贯通数学运算是以结构的方式而存在的。结构化不是将不同的运算（或操作）简单地拼凑成一个整体，而是要消除各种运算（或操作）之间的“矛盾”、以达到相互协调。

　　“关于‘分数概念’的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展（从倍数到分数的扩展）之中，具体设计了一个问题情境：比较量不足一个标准量（此前，在“倍数”中，比较量总是大于或等于一个标准量），如何表示二数关系。学生面对这一“矛盾”、积极思考。消解矛盾的过程，同时也是各种操作（倍数与分数）协调、统一而融会贯通的过程。

　　四、结语

　　综上，可以明确：（一）对小学生而言，数学运算既包括具体的动手操作，也包括对动手操作的思索。后者比前者更为重要。（二）数学运算总是隐含着“不变的因素”，具体体现在逆向运算、逆向转换（6比2多4，那么2比6少4）、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。（三）数学运算总是以结构化的方式而存在。

　　在于数学运算的内在规定性，本文提出（一）课堂教学中，在指导学生动手操作（或演示有关操作）时，应引起“反省”。小学儿童离不开具体动作的支持，但对具体动作的思索更为重要。（二）在指导学生动手操作的过程中，让学生体会到“必然”之感，必然之感的获得，是数学运算形成的标志。（三）在动作操作过程中，指导学生通过思考，将各种运算联成整体，融会贯通。

　　①②⑤⑥皮亚杰：《智慧心理学》，中国社会科学出版社1992年版，第33页；第18—19页。第36页；第42页。

　　③皮亚杰：《教育科学与儿童心理学》，教育文化出版社1981年版，第30页。

　　④皮亚杰：《发生认识论》，《教育研究》，1979年第3期，第91页。

【动作智慧根源的研究论文】相关文章：

1.关于数字校园转型智慧校园的研究论文

2.安娜.卡列妮娜的悲剧根源论文

3.地理的研究小论文4.论文的研究方法

5.关于提升课例的研究价值的研究论文

6.根源初三作文

7.论文智慧智慧教育智慧文化

8.勤出智慧议论文