三、解答题：本大题共6小题，共70分．

　　17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.

　　(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；

　　(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

　　解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，

　　∴{bn}是等比数列．

　　∵b1＝a1－2＝－32，

　　∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.

　　(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，

　　Sn＝a1＋a2＋…＋an

　　＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2

　　＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.

　　18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.

　　(1)求{an}的通项公式；

　　(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

　　解析：(1)由题意Sn＝2n，

　　得Sn－1＝2n－1(n≥2)，

　　两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．

　　当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.

　　∴an＝2  (n＝1)，2n－1  (n≥2).

　　(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，

　　∴b2－b1＝1，

　　b3－b2＝3，

　　b4－b3＝5，

　　…

　　bn－bn－1＝2n－3.

　　以上各式相加，得

　　bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

　　＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.

　　∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，

　　∴cn＝－2     (n＝1)，(n－2)×2n－1  (n≥2)，

　　∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，

　　∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.

　　∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n

　　＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n

　　＝2n－2－(n－2)×2n

　　＝－2－(n－3)×2n.

　　∴Tn＝2＋(n－3)×2n.

　　19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

　　(1)求数列{an}的通项公式；

　　(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

　　解析：(1)依题意，得

　　3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.

　　∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

　　即an＝2n＋1.

　　(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，

　　∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

　　＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)

　　＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.

　　20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.

　　(1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；

　　(2)求通项an. 新 课  标  第  一 网

　　解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，

　　ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，

　　两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，

　　即an＋1＝ban＋2n.①

　　(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.

　　于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n

　　＝2an－n2n－1.

　　又a1－ 120＝1≠0，

　　∴{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

　　(2)当b＝2时，

　　由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1

　　当b≠2时，由①得

　　an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n

　　＝ban－12－b2n，

　　因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.

　　得an＝2，          n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，  n≥2.

　　21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．

　　解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.

　　所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．

　　设还需组织(n－1)辆车，则

　　a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.

　　所以n2－145n＋3 000≤0，

　　解得25≤n≤120，且n≤73.

　　所以nmin＝25，n－1＝24.

　　故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．

　　22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.

　　(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

　　(3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

　　解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，

　　得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.

　　∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

　　∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.

　　∵数列{an}为等差数列，且公差为1，

　　∴an＝n－1(n∈N*) ．

　　代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

　　(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．

　　＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.

　　∵n∈N*，

　　(3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)，

　　∴c2＋c3＋…＋cn

　　＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.

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