三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．

　　17．(10分)在三角形中有下面的性质：

　　(1)三角形的两边之和大于第三边；

　　(2)三角形的中位线等于第三边的一半；

　　(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；

　　(4)三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)．

　　请类比出四面体的有关相似性质．

　　解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

　　(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]

　　(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；

　　(4)四面体的体积为V ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积)．

　　18．(12分)已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.

　　解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝b2a－a＋a2b－b

　　＝(b＋a)(b－a)a＋(a＋b)(a－b)b

　　＝(a－b)(a＋b)1b－1a＝1ab(a－b)2(a＋b)，

　　∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.

　　19．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的.年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

　　(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

　　(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

　　解析：(1)由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.

　　∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t

　　＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t

　　＝27－182t＋1－t(t≥0)．

　　(2)由(1)知：

　　y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.

　　由基本不等式

　　9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，

　　当且仅当9t＋12＝t＋12，

　　即t＝2.5时，等号成立，

　　故y＝27－182t＋1－t

　　＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.

　　当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．

　　20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….

　　(1)求a1，a2；

　　(2)猜想数列{Sn}的通项公式．

　　解析：(1)当n＝1时，

　　x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.

　　当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，

　　于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，

　　解得 a2＝16.

　　(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.

　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代 入上式得

　　Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①

　　由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.

　　由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….

　　21．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立．

　　(1)求f(1)的值；

　　(2)求f(x)的解析式；

　　解析：(1)由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，

　　若[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立，

　　即x≤f(x)≤x2＋12恒成立，

　　令x＝1得1≤f(1)≤12＋12＝1，故f(1)＝1.

　　(2)由函数零点为－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，

　　又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.

　　又f(x)－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，

　　因为f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，

　　因此ac≥116①

　　于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，

　　得ac≤c＋a22＝116②

　　故ac＝116，且a＝c＝14，

　　故f(x)的解析式是f(x)＝14x2＋12x2＋12x＋14.

　　22．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣 越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

　　(1)求出f(5)；

　　(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．

　　解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，

　　∴f(5)=25+4×4=41.

　　(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1，

　　f(3)-f(2)=8=4×2，

　　f(4)-f(3)=12=4×3，

　　f(5)-f(4)=16=4×4，

　　由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.

　　∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，

　　f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)，

　　f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)，

　　…

　　f(2)-f(1)=4×1，

　　∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]

　　=2(n-1)n，

　　∴f(n)=2n2-2n+1.

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