函数的最值与导数高二数学课后练习题

时间:2021-08-31

函数的最值与导数高二数学课后练习题

一、选择题

  1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f(x)()

  A.等于0 B.大于0

  C.小于0 D.以上都有可能

  [答案] A

  [解析] ∵M=m,y=f(x)是常数函数

  f(x)=0,故应选A.

  2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为()

  A.0 B.-2

  C.-1 D.1312

  [答案] A

  [解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

  令y=0,解得x=0.

  f(-1)=512,f(0)=0,f(1)=1312

  f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

  3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()

  A.2227 B.2

  C.-1 D.-4

  [答案] C

  [解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

  令y=0解得x=13或x=-1

  当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;

  当x=13时,y=2227;当x=1时,y=2.

  所以函数的最小值为-1,故应选C.

  4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()

  A.最大值为13,最小值为34

  B.最大值为1,最小值为4

  C.最大值为13,最小值为1

  D.最大值为-1,最小值为-7

  [答案] A

  [解析] ∵y=x2-x+1,y=2x-1,

  令y=0,x=12,f(-3)=13,f12=34,f(0)=1.

  5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为()

  A.2 B.1

  C.0 D.不存在

  [答案] A

  [解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

  由y=0得x=12,在0,12上y0,在12,1上

  y0.x=12时y极大=2,

  又x(0,1),ymax=2.

  6.函数f(x)=x4-4x (|x|1)()

  A.有最大值,无最小值

  B.有最大值,也有最小值

  C.无最大值,有最小值

  D.既无最大值,也无最小值

  [答案] D

  [解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

  令f(x)=0,得x=1.又x(-1,1)

  该方程无解,

  故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

  7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

  A.5,-15 B.5,4

  C.-4,-15 D.5,-16

  [答案] A

  [解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),

  令y=0,得x=2或x=-1(舍).

  ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,

  ymax=5,ymin=-15,故选A.

  8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154,则a等于()

  A.-32 B.12

  C.-12 D.12或-32

  [答案] C

  [解析] y=-2x-2,令y=0得x=-1.

  当a-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.

  当-1

  最大值为f(a)=-a2-2a+3=154,

  解得a=-12或a=-32(舍去).

  9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是

  ()

  A.k-3或-11或k3

  B.-3

  C.-2

  D.不存在这样的实数

  [答案] B

  [解析] 因为y=3x2-12,由y0得函数的增区间是(-,-2)和(2,+),由y0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1-2

  10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()

  A.[3,+) B.[-3,+)

  C.(-3,+) D.(-,-3)

  [答案] B

  [解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+)上是增函数,f(x)=3x2+a0在[1,+)上恒成立

  即a-3x2在[1,+)上恒成立

  又∵在[1,+)上(-3x2)max=-3

  a-3,故应选B.

二、填空题

  11.函数y=x32+(1-x)32,01的最小值为______.

  [答案] 22

  由y0得x12,由y0得x12.

  此函数在0,12上为减函数,在12,1上为增函数,最小值在x=12时取得,ymin=22.

  12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+)上的最大值________,最小值为________.

  [答案] 不存在;-2834

  [解析] f(x)=-36+6x+12x2,

  令f(x)=0得x1=-2,x2=32;当x32时,函数为增函数,当-232时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f32=-2834,所以最小值为-2834.

  13.若函数f(x)=xx2+a(a0)在[1,+)上的最大值为33,则a的值为________.

  [答案] 3-1

  [解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

  令f(x)=0,解得x=a或x=-a(舍去)

  当xa时,f(x)

  当x=a时,f(x)=a2a=33,a=321,不合题意.

  f(x)max=f(1)=11+a=33,解得a=3-1.

  14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的`最大值为M,最小值为m,则M-m=________.

  [答案] 32

  [解析] f(x)=3x2-12

  由f(x)0得x2或x-2,

  由f(x)0得-2

  f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.

  又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,

  f(3)=-1,

  最大值M=24,最小值m=-8,

  M-m=32.

三、解答题

  15.求下列函数的最值:

  (1)f(x)=sin2x-x-x

  (2)f(x)=x+1-x2.

  [解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

  令f(x)=0,得cos2x=12.

  又x2,2,2x,],

  2x=3,x=6.

  函数f(x)在-2上的两个极值分别为

  f6=32-6,f-6=-32+6.

  又f(x)在区间端点的取值为

  f2,f-2.

  比较以上函数值可得f(x)max=2,f(x)min=-2.

  (2)∵函数f(x)有意义,

  必须满足1-x20,即-11,

  函数f(x)的定义域为[-1,1].

  f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

  令f(x)=0,得x=22 .

  f(x)在[-1,1]上的极值为

  f22=22+1-222=2.

  又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得f(x)max=2,f(x)min=-1.

  16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34,14上的最大值和最小值.

  [解析] f(x)的定义域为-32,+.

  f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

  =2(2x+1)(x+1)2x+3.

  当-320;

  当-1

  当x-12时,f(x)0,

  所以f(x)在-34,14上的最小值为

  f-12=ln2+14.

  又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990,

  所以f(x)在区间-34,14上的最大值为 f14=ln72+116.

  17.(2016安徽理,17)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,xR.

  (1)求f(x)的单调区间及极值;

  (2)求证:当aln2-1且x0时,exx2-2ax+1.

  [分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

  解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.

  [解析] (1)解:由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.

  令f(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:

  x (-,ln2) ln2 (ln2,+)

  f(x) - 0 +

  f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?

  故f(x)的单调递减区间是(-,ln2),单调递增区间是(ln2,+),

  f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

  (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.

  由(1)知当aln2-1时,g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

  于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.

  于是当aln2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).

  而g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0.

  即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.

  18.已知函数f(x)=4x2-72-x,x[0,1].

  (1)求f(x)的单调区间和值域;

  (2)设a1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x[0,1].若对于任意x1[0,1],总存在x0[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.

  [解析] (1)对函数f(x)求导,得

  f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

  令f(x)=0解得x=12或x=72.

  当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:

  x 0 (0,12)

  12

  (12,1)

  1

  f(x) - 0 +

  f(x) -72

  ? -4 ? -3

  所以,当x(0,12)时,f(x)是减函数;

  当x12,1时,f(x)是增函数.

  当x[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].

  (2)g(x)=3(x2-a2).

  因为a1,当x(0,1)时,g(x)0.

  因此当x(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x[0,1]时有g(x)[g(1),g(0)].

  又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x[0,1]时有g(x)[1-2a-3a2,-2a].

  任给x1[0,1],f(x1)[-4,-3],存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,

  则[1-2a-3a2,-2a][-4,-3].

  即1-2a-3a2-4,①-2a-3.②

  解①式得a1或a解②式得a32.

  又a1,故a的取值范围为132.