全国高中数学联赛模拟试题5及答案

时间:2021-08-31

  全国高中数学联赛模拟试题(五)

  第一试

  一、 选择题:(每小题6分,共36分)

  1、空间中n(n≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个

  结论

  (1) 没有任何两个平面互相平行;

  (2) 没有任何三个平面相交于一条直线; (3) 平面间的任意两条交线都不平行;

  (4) 平面间的每一条交线均与n 2个平面相交. 其中,正确的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

  2、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当c∈(a,b)

  时,f(c)的近似值可表示为

  (A)

  f a f b

  2

  a b

  (B)f

  2

  (C)

  b c f a c a f b

  b a(D)f a

  c a

  f b f a b a

  3、设a>b>c,a+b+c=1,且a2+b2+c2=1,则

  (A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能确定,与a、b的具体取值有关

  x2y2 3

  4、设椭圆2 2 1的离心率e ,已知点P 0, 到椭圆上的点的最远

  2ab 2 7

  ,则短半轴之长b= 4

  1111

  (A) (B) (C) (D)

  48216

  5、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集,满足:A中的所有元素可以组成等

  差数列.那么,这样的三元子集A的个数是

  距离是

  (A)C32003

  22

  (B)C1001 C1002

  22

  (C)A1001 A1002(D)A32003

  6、长方体ABCD A1B1C1D1,AC1为体对角线.现以A为球心,AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球,其体积依次为V1、V2、V3、V4,则有 (A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3 (C)V4>V1+V2+V3 (D)不能确定,与长方体的棱长有关

  二、 填空题:(每小题9分,共54分)

  sin3 cos3

  1、已知 k,则k的取值范围为 .

  sin cos 2、等差数列{an}的首项a1=8,且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上,则这样的等差数列共有 个.

  a

  3、在四面体P ABC中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且a<b,则的取

  b

  值范围为 .

  4、动点A对应的复数为z=4(cos +isin ),定点B对应的复数为2,点C为线段AB的中点,过点C作AB的垂线交OA与D,则D所在的轨迹方程为 . 5、 3k被8所除得的'余数为 .

  k 12003

  6、圆周上有100个等分点,以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为.

  三、 (20分)

  已知抛物线y2=2px(p>0)的一条长为l的弦AB.求AB中点M到y

  轴的最短距离,并求出此时点M的坐标.

  四、 (20分)

  单位正方体ABCD A1B1C1D1中,正方形ABCD的中心为点M,正方形A1B1C1D1的中心为点N,连AN、B1M. (1)求证:AN、B1M为异面直线; (2)求出AN与B1M的夹角.

  五、 (20分)

  对正实数a、b、c.求证:

  a2 8bcb2 8acc2 8ab

  ≥9.

  abc

  第二试

  一、 (50分)

  设ABCD是面积为2的长方形,P为边CD上的一点,Q为△PAB的内切圆与边AB的切点.乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化,当PA·PB取最小值时, (1)证明:AB≥2BC; (2)求AQ·BQ的值.

  二、 (50分)

  给定由正整数组成的数列

  a1 1,a2 2

  (n≥1).

  an 2 an 1 an

  (1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点

  (a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),…

  均在曲线x2+xy y2+1=0上.

  (2)若设f(x)=xn+xn-1 anx an-1,g(x)=x2 x 1,证明:g(x)整除f(x).

  三、 (50分)

  我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划,如果 (1)A1 A2 An A; (2)Ai Aj ,1≤i<j≤n.

  求最小正整数m,使得对A={1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13,一定存在某个集合Ai(1≤i≤13),在Ai中有两个元素a、b

  9

  满足b<a≤b.

  8

  参考答案

  第一试

  二、填空题:

  1 1

  1、 1, ,1 ;

  2 2

  2、17;

  2

  x 1 4、

  3、 2 3,1 ;

  5、4;

  4

  y2

  1; 3

  6、117600.

  l2 l2

  ,0 ,0 l 2p,M 8p8p

  三、 .

  l ppl l p,l 2p,M 2

  2,2 p 2

  四、(1)证略;

  五、证略.

  (2)arccos

  2. 3

  第二试

  一、(1)证略(提示:用面积法,得PA·PB最小值为2,此时∠APB=90°); (2)AQ·BQ=1.

  二、证略(提示:用数学归纳法).

  三、m=117.

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