二、选择题:(本大题20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分, 否则一律得零分。
15、设 ,则 是 的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16、给出的是计算 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ( )
A.
B.
C.
D.
17、(理)已知向量 , , ,则 与 夹角的最小值和最大值依次是 ( )
A. B. C. D.
(文)在 中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足 ,则科网 等于 ( )
A. B. C. D.
18、(理)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 和双曲线 ,P是它们的一个交点,则F1PF2的形状是 ( )
A.锐角三角 形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随 变化而变化
(文)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 和双曲线 , 是它们的一个交点, 则 的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
三、解答题(本大题共5小题,满分74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
19、(本题满分12分)
(理)小明购买一种叫做买必赢的彩票,每注售价10元,中奖的概率为2%,如果每注奖的奖金为300元,那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元?
(文)在 中,角 所对的边分别是 ,若 , ,求 的面积.
20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
(理),已知四棱锥PABCD,底面ABCD为矩形, ,PA 平面ABCD, E,F分别是BC,PC的中点。
(1) 求异面直线PB与AC所成的角的余弦值;
(2) 求三棱锥 的体积。
(文)棱锥的底面是正三角形,边长为1,棱锥的一条侧棱与底面垂直,其余两条侧棱与底面所成角都等于 ,设 为 中点。
(1)求这个棱锥的侧面积和体积;
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
已知数列 是各项均不为 的等差数列,公差为 , 为其前 项和,且满足
, .数列 满足 , 为数列 的前n项和.
(1)求 、 和 ;
(2)(理)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(文)是否存在实数 ,使对任意的 ,不等式 恒成立 ?若存在,请求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由。
22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
(理)定义:对函数 ,对给定的正整数 ,若在其定义域内存在实数 ,使得 ,则称函数 为 性质函数。
(1) 判断函数 是否为 性质函数?说明理由;
(2) 若函数 为2性质函数,求实数 的取值范围;
(3) 已知函数 与 的图像有公共点,求证: 为1性质函数。
(文)定义:对函数 ,对给定的正整数 ,若在其定义域内存在实数 ,使得 ,则称函数 为 性质函数。
(1) 若函数 为1性质函数,求 ;
(2) 判断函数 是否为 性质函数?说明理由;
(3) 若函数 为2性质函数,求实数 的取值范围;
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分其中①6分、②2分。
设抛物线 的焦点为 ,过 且垂直于 轴的直线与抛物线交于 两点,已知 .
(1)求抛物线 的方程;
(2)(理)设 ,过点 作方向向量为 的直线与抛物线 相交于 两点,求使 为钝角时实数 的取值范围;
(文)过点 作方向向量为 的直线与曲线 相交于 两点,求 的面积 并求其值域;
(3)(理)①对给定的定点 ,过 作直线与抛物线 相交于 两点,问是否存在一条垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切 ?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由。
(理)②对 ,过 作直线与抛物线 相交于 两点,问是否存在一条垂直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切?( 只要求写出结论,不需用证明)
(文)设 ,过点 作直线与曲线 相交于 两点,问是否存在实数 使 为钝角?若存在,请求出 的取值范围;若不存在,请说明理由。
高三数学下学期期中试卷:长宁市试卷答案
一、填空题(共14题,每题4分,共56分)
1、2 2、 3、 4、(理) (文) 5、(理) (文) 6、(理) (文)4 7、(理)2 (文)
8、(理) (文)8 9、(理) (文)2 10、(理) (文) 11、(理)①②③④ (文)4 12、 13、(理)7 (文)1 14、1
二、选择题(共4题,每题5分,共20分)
15、B 16、A 17、(理)C (文)D 18、B
三、解答题
19、(本题满分12分)
(理)解: 2%+(-10) 98% 8分
=-4(元) . 10分
答:所求期望收益是-4元。 . 12分
(文)解:由条件 , , 。
. 4分
, ,
. 8分
。
. 12分
20、(本题满分14分,第(1)小题8分,第(2)小题6分)
(理)解: (1)建立所示的空间直角坐标系,则 ,
, ,. 4分
设 与 所成的角为 , ,. 6分
异面直线PB与AC所成角的余弦值为 。. 8分
(2) 。
. 14分
(文)解: (1) , ,
, ,. 2分
, ,
,. 3分
,. 5分
. 6分
(2)取 中点E,连接DE,则 ,
为异面直线 与 所成角(或其补角)。.8分
中, ,. 10分
设 ,则 ,. 12分
因此异面直线 与 所成角的大小为 。
. 14分
21、(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)
解:(1) .. 1分
, ,当 时, 不满足条件,舍去.因此 .. 4分
, , 。
. 6分
(理)(2)当 为偶数时, ,
,当 时等号成立, 最小值为 ,
因此 。 . 9分
当 为奇数时, ,
在 时单调递增, 时 的最小值为 ,
。 . 12分
综上, 。 . 14分
(文)(2) ,
. 8分
,当 时等号成立, . 10分[来源:学科网]
最小值为 , . 12分
因此 。 . 14分 22、(本题满分16分,第(1)小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
(理)解:(1)若存在 满足条件,则 即 ,
. 2分
, 方程无实数根,与假设矛盾。 不能为
k性质函数。 . 4分
(2)由条件得: ,. 5分
即 ( ,化简得
,. 7分
当 时, ;. 8分
当 时,由 ,
即 ,
。
综上, 。
. 10分
(3)由条件存在 使 ,即 。.11分
, ,
. 12分
,. 14分
令 ,
则 ,. 15分
, 为1性质函数。
. 16分
(文)解:(1)由 得 ,. 2分
, 。 . 4分
(2)若存在 满足条件,则 即 ,
. 7分
, 方程无实数根,与假设矛盾。 不能为
k性质函数。 . 10分
(3)由条件得: ,. 11分
即 ( ,化简得
, . 13分
当 时, ; . 14分
当 时,由 ,
即 ,
。
综上, 。. 16分
23、(本题满分18分,第(1)小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
解: (1)由条件得 , 抛物线C的方程为 ;
. 4分
(理)(2)直线方程为 代入 得 ,
设 ,则 ,
。. 6分
为钝角, ,即
,
,
. 8分
因此 ,. 9分
综上得 。
. 10分
(文)(2)直线方程为 代入 , ,
. 6分
恒成立。设 ,则 ,
. 7分
,. 9分
。. 10分
(理)(3)①设过 所作直线方程为 代入 得
, .11 分
设 则 ,
, 中点 ,. 12分
。. 13分
设存在直线 满足条件,则 , . 14分
对任意 恒成立,
无解, 这样的直线不存在。 . 16分
②当 时,存在直线 满足条件;.17分
当 且 时,直线不存在。 .18分
(文)(3)设所作直线的方向向量为 ,则直线方程为 代入
得 ,设 , .
. 12分
又 ,则 , 为钝角, ,. 14分
即 ,
,该不等式对任意实数 恒成立,.16分
因此 .
. 17分
又 ,因此,当 时满足条件。
. 18分