切线的判定定理教案

时间:2021-08-31

切线的判定定理教案

  【内容概述】

  证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

  本内容通过动手操作得出切线的判定定理,再利用解决两道例题,总结归纳出两种具体的证法:

  ①当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;

  ②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。

  归纳总结后,马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。

  【教学重难点】

  理解切线的判定方法,能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

  【教学目标】

  掌握判断圆的切线的方法,并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

  【教学过程】

  一、复习引入

  平面内直线和圆存在着三种位置关系,即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交,这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢?怎样判定一条直线是圆的切线?

  ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(定义)

  ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(d=r)

  除了这两种方法,还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢?

  活动一:在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条?这条直线和圆是什么位置关系?为什么?你得到了什么结论?

  切线判定定理:经过直径的一端,且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

  活动二:分析定理。经过直径的一端,且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

  这个定理有什么用?证明一条直线是圆的切线,那根据这个判定定理,要证明一条直线是圆的切线,需要几个条件?分别是什么?

  对定理的理解:①经过半径外端. ②垂直于这条半径。

  定理中的两个条件缺一不可。

  二、典型例题

  例1:如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,

  求证:直线AB是⊙O的切线。

  证明:连结0C

  ∵0A=0B,CA=CB,

  ∴AB⊥OC。

  ∵直线AB经过半径0C的外端C,

  并且垂直于半径0C,

  ∴AB是⊙O的切线。

  【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的`外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线。

  例2:如图,P是∠BAC上的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D,请问AB与以P

  为圆心、PD为半径的圆相切吗?为什么 ?

  证明:过P作PE⊥AB于E

  ∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

  ∴PE=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)

  ∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径

  ∴AB与圆相切

  【设计意图】通过例一和例二的解答,总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

  ①当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;

  ②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。

  三、知识应用(练习)

  1、如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延长线上

  的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,弦AC平分∠EAB。

  求证:DE是⊙O的切线.

  [分析]:因直线DE与⊙O有公共点C,故应采用“连半径,证垂直”的方法。

  证明:连接OC,则OA=OC,

  ∴∠CAO=∠ACO(等边对等角)

  ∵AC平分∠EAB(已知)

  ∴∠EAC=∠CAO(角平分线的定义)

  ∴∠EAC=∠ACO(等量代换)

  ∴AE∥CO,(内错角相等,两直线平行)

  又AE⊥DE,

  ∴CO⊥DC,

  ∴DE是⊙O的切线.

  【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理.一定要注意区分这两个定理的题设与结论,注意在什么情况下可以用切线的性质定理,在什么情况下可以用切线的判定定理.希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识.本题若作OC⊥CD,就判断出了CD与⊙O相切,这是错误的.这样做相当于还未探究、判断,就以经得出了结论,显然是错误的。

  2、如图,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=AB,E、F分别是AC、

  BC的中点,求证:以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

  [分析]:因直线AB与⊙O无确定的公共点,故应采用“作垂直,证半径”方法。

  证明:过O点作OH⊥AB于H

  ∵E、F分别为AC、BC的中点(已知)

  ∴EF∥AB,且EF=AB(三角形中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)

  ∴G点为CD的中点,OH=GD=CD

  ∵CD=AB ∴EF=CD

  ∴OH=EF

  ∴AB为⊙O的切线

  四、小结升华

  本节课里,你学到了哪些知识,它们是如何应用的?

  证明切线的方法:(1)直线和圆有交点时,“连半径,证垂直”;

  (2)直线和圆无确定交点时,“作垂直,证半径”。

  【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点,即判断直线与

  圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

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