一、教材

　　1、教学内容：

　　本节课是北师大版九年级上第二章第五小节第一课时。内容是一元二次方程在几何和实际生活中的应用。

　　2、本节课在教材中所处的地位和作用：

　　《一元二次方程》这一章是前面所学知识的继续和发展，尤其是一元一次方程、二元一次方程（组）等内容的深入和发展，是方程知识的综合运用。学好这部分知识，为九下学习一元二次函数知识打下扎实的基础，是后继学习的前提。而本节内容是一元二次方程的实际应用，是一元二次方程的最后部分。当然，尽管是最后一部分内容，但在本章的2～4节探索医院二次方程解法的过程中已经涉及到了一些关于一元二次方程的应用题，因此学生对此并不陌生，已经积累了一定的经验。

　　3、教学目标

　　（1）经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

　　（2）通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

　　4．教材的重点：

　　掌握运用方程解决实际问题的方法。

　　5、教材的难点：

　　建立方程模型。

　　二、教法：

　　选取现实生活中的题材，调动兴趣，探索、解决问题，讲练结合。

　　三、学法：

　　通过阅读细化问题、逐步解决问题

　　四、教学过程：

　　（一）导入新课，隐射

　　教学目标

　　1．观察图片：古埃及胡夫金字塔，古希腊巴特农神庙，上海东方明珠电视塔，它们都是古今中外历史上著名的建筑，在这些建筑的设计上都运用到了数学一个很奇妙的知识——黄金分割。

　　2．释疑：你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_______________那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比称为黄金比（0.618）。黄金比为什么等于0.618？方程能帮助我们解决这个问题吗？让我们一起来做一做。解：由=，得AC2=AB·CB设AB=1，AC=x，则CB=1－x，代入上式，x2=1×（1－x）即：x2+x－1=0解这个方程，得x1=，x2=（不合题意，舍去）所以：黄金比=≈0.618

　　（二）一元二次方程还能解决什么问题？

　　例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。

　　（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

　　（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）分析（设置一些小问题）：

　　①你能在图中找到表示小岛F的点吗？在本题中，实际要求的是什么？

　　②这是一个路程问题，路程=____________×___________。在本题中，从出发到相遇，军舰、补给船的航线路线分别是图中的哪些线段？两艘船的时间、速度、路程已知吗？两艘船的时间、速度、路程各有什么关系？

　　③你能用含有一个未知数的代数式来表示军舰和补给船各自的路程吗？

　　④你能借助图中的特殊图形解决本题的两个问题吗？

　　解：（1）连接DF，则DF⊥BC，∵AB⊥BC，AB=BC=200海里∴AC=AB=200海里，∠C=45°∴CD=AC=100海里DF=CF，DF=CD∴DF=CF=CD=×100=100海里所以，小岛D和小岛F相距100海里。

　　（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+（300－2x）2整理得，3x2－1200x+100000=0解这个方程，得：x1=200－≈118.4x2=200+（不合题意，舍去）所以，相遇时，补给船大约航行了118.4海里。这部分教学设计意图：通过前面的学习，学生对一元二次方程在实际问题中的应用已经有了一定的了解，在本课的学习中，我们联系实际选取例题，通过这个例题详细展示了应用题的分析方法、解题过程，要求学生能用自己的语言归纳解题的一般步骤，从而培养学生的阅读能力、建立方程模型解决实际问题的能力。

　　（三）练一练

　　例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？『分析』（设置一些小问题）：

　　①本题同样涉及的是行程问题，在本题中，时间、速度、路程这三个量哪些是已知的？哪些是未知的？通过假设未知数，你能将各未知量表示出来吗？未知量和已知之间有什么关系？未知量与未知量之间有什么关系？

　　②点P、Q的路程在右图中分别对应哪些线段？在右图中你还能表示出哪些线段的长？问题中涉及的两个三角形的面积分别该如何表示？解：设x秒后，△PCD的面积是RT△ABC的一半，由题意得：整理得：

　　解这个方程得：

　　这部分教学设计意图：在例1的基础上，进一步深化对利用一元二次方程解应用题的认识，体会刚刚归纳过的解题方法，提高阅读能力。关于难点的突破，我们主要从以下几个方面分步着手：

　　1、为让学生理解图形所表达的意思，可以让学生根据题意自己画图，然后教师示范画图过程，学生在实践与对比中将题目与图形有机结合起来。

　　2、结合图形审题，一边读题，一边将题中显而易见的数学量在图中标示出来。

　　3、结合问题类型，分析各量之间的关系；假设未知数，用含未知数的代数式表示出题中的未知量；根据等量关系，列方程。

　　4、解方程并检验根的合理性。

　　（四）总结全课，深化教学目标

　　列方程解应用题的一般步骤是：

　　1、审：审清题意：已知什么，求什么？已知、未知之间有什么关系？

　　2、设：设未知数，语句要完整（可以直接设：问什么设什么；也可以间接设。

　　3、列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等量关系列方程；

　　4、解：解所列的方程；

　　5、验：是否是所列方程的根；是否符合题意；

　　6、答：答案也必需是完事的语句。列方程解应用题的关键是：找等量关系，本题中找等量关系的方法是“图示法”，常用的方法还有“列表法”等。