圆周角的教学设计

　　教学目标

　　1、 理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算.

　　2、 经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.

　　3、 通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值.

　　教学重点难点

　　教学重点 圆周角的概念、圆周角定理及其应用.

　　教学难点 圆周角定理的分类证明.

　　教学过程

　　一、情境导入

　　足球场上的数学 在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙，由乙射门.问哪一种射门方式进球的可能性大?(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好.)

　　设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣.

　　二、自我探究

　　1、圆周角的概念

　　观察图形 APB的顶点P从圆心O移动到圆周上(电脑动画).

　　教师指出APB是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角.

　　学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角.

　　辨析概念 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.

　　思考特征 圆周角具有什么特征?

　　明确结论：①顶点在圆上;②两边都和圆相交.

　　设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

　　2、合作交流，动手操作

　　学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：

　　① 圆心在圆周角的一边上;

　　② 圆心在圆周角的内部;

　　③ 圆心在圆周角的外部.

　　设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度.

　　3、实验探究

　　探究问题 同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系?

　　试验操作

　　学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角(450)、钝角(1100)和平角(1800)时，动手测量出弧BC所对的圆周角BAC和BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

　　猜想结论 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

　　电脑验证 教师改变圆心角BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角BAC和BDC的度数，进一步验证学生的猜想.

　　设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系.

　　4、证明定理

　　命题分析 命题：(电脑显示)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

　　学生说出已知、求证.

　　问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊?此时你能不能证明A= BOC?

　　三种情况：

　　第一种情况：圆心在圆周角一边上;

　　第二种情况：圆心在圆周角的内部;

　　第三种情况：圆心在圆周角的外部。

　　定理证明 学生证明第一种情形(圆心在圆周角的一边上的情形)：

　　作直径AD.

　　∵OA=OC

　　A=C

　　又∵BOC=C

　　BOC=2A

　　即A= BOC

　　利用基本图形(小红旗)及其对应的基本结论，引导学生证明当圆心在圆周角内部时的情形：

　　∵BAD= BOD，CAD= COD

　　BAD+CAD= BOD+ COD

　　即BAC= BOC

　　情形(3)的证明推导，学生自己完成，教师用电脑展示.

　　电脑动画展示：等圆中等弧的问题通过移动、旋转转化为同圆中中同弧的问题，从而得到圆周角定理：

　　圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的`一半.

　　进一步，由学生分析出，当圆心角是180时，圆周角为90，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐变为180时，对应的圆周角变为90，从而得到圆周角定理的推论：

　　圆周角定理推论 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.

　　设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感.

　　三、应用巩固

　　例1 如图，如果A=60，则BOD=____，BDC=____

　　例2 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是一定相等的角?

　　拓展 若2=60，判断△BCD的形状并证明你的结论.

　　设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，拓宽学生思维的深度和广度.

　　四、解决问题：

　　解决问题情境中的足球问题：过点P 、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析题意，给出问题的答案：

　　解法1：连结PD.

　　∵PDQ, A

　　A

　　将球传给乙,让乙射门好.

　　解法2：连结CQ.

　　∵PCQ, A

　　A

　　将球传给乙,让乙射门好.

　　设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题.

　　五、总结拓展

　　1.本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论.

　　2.本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想.

　　设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

　　六、作业巩固

　　设计意图：数学是做出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，进一步巩固、掌握所学新识

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