双曲线的简单几何性质的说课设计

　　一、教材分析

　　本节内容是人教社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第八章第四节第一课时，属于解析几何领域的知识。由曲线方程研究曲线的几何性质，是高中阶段解析几何所研究的主要问题之一。二次曲线:圆、椭圆、双曲线、抛物线是解析几何的主要研究对象，由于这四种曲线可以通过用不同的方式截圆锥得到，统称为圆锥曲线，在学习时，要注意挖掘它们之间的内在联系和区别，注意圆锥曲线之间的共同点与特殊性。本节课通过类比椭圆的简单几何性质,探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），并且进一步探究出双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线），为后续的抛物线的几何性质的研究做好铺垫。因此这节课在教材中起承上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要的意义。

　　二、学情分析与学生水平分析

　　1.学情分析：在此之前，学生已经学习了椭圆的简单几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的.几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构基础上拓展延伸，构建新知识体系；对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。2.学生水平分析：我校学生是从全省各地招来的最优秀的学生，数学基础扎实，自主学习能力较高。在本节课的学习中，可以发挥学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学。

　　三、教学目标

　　1.知识目标：使学生理解并初步掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。

　　2.能力目标：培养学生利用曲线方程研究曲线性质的基本方法构建新知识体系；通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力。

　　3.德育目标：培养学生运用数形结合的数学思想和方法解决问题的能力。使学生在成功的体验中获得成就感，进而激发学生学习数学的兴趣。

　　四、教学重点和难点

　　1.重点：本课主要内容是双曲线的几何性质，因此本课重点是引导学生探求双曲线的几何性质，并运用类比及数形结合的思想来解决数学问题。

　　2.难点：双曲线的实轴和虚轴是区别于椭圆的长轴和短轴的概念，而渐进线的概念是双曲线所特有的，且渐进线定义是解析几何中第一次用极限的思想来进行证明，因此这些都是本节课的难点。

　　五、教学方法

　　1.教法：本节课主要采用引导发现法， 通过师（生）不断地设（释）疑 ，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳的过程。

　　2.学法：鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进一步提高自己的学习能力。

　　六、教学过程

　　活动流程

　　活动内容

　　目的

　　活动一：复习回顾

　　(提问学生)椭圆

　　的4个简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

　　以旧引新，揭示课题。

　　活动二：探索研究

　　（提出问题）类比椭圆

　　的简单几何性质，双曲线

　　是否具有类似的几何性质：范围、

　　对称性、顶点、离心率？

　　（然后学生分组讨论，给大约6分钟时间）

　　已有知识结构的拓展延伸，借助于类比方法，激发学生学习数学的兴趣。

　　活动三：讨论归纳

　　（请其中一组学生派代表说讨论结果，其他组同学派代表作补充，教师加以引导）双曲线的4个简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

　　（教师强调指出）实轴和虚轴区别于椭圆的长轴和短轴的概念；离心率 的范围（ >1）。

　　逐步构建新知识体系，突破实轴和虚轴这两个难点，为活动四做好铺垫。

　　活动四：拓展探究

　　1.（提出问题）椭圆的离心率 是反映椭圆扁圆程度的量，双曲线的离心率与双曲线有何关系？

　　2.（启发引导）由可发现： 越大， 越大；越小， 越小。

　　（引导学生考查 的几何意义）是直线 斜率的绝对值。

　　从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，通过探究“双曲线的离心率 与双曲线有何关系？”这一问题，逐步引出双曲线的渐近线，

　　活动四：拓展探究

　　3.（探究直线 与双曲线的关系）回顾

　　轴， 轴是曲线 的渐近线，直线是正切函数

　　图像的渐近线，猜想：直线 是双曲线的渐近线。

　　活动四：拓展探究

　　（证明猜想）证明：双曲线的各支向外延伸时，与直线 逐渐接近。（证明中强调极限思想的运用）

　　4．（回答1中提出的问题，说明离心率 的几何意义）离心率 是反映双曲线开口大小的量。

　　通过这一探究过程说明离心率与双曲线开口之间的密切关系即离心率 的几何意义。同时突破本节课的最后一个难点——渐近线。

　　活动五：课时小结

　　让学生通过自我反思和互相质疑提问，归纳总结本节课的主要内容；强调双曲线与椭圆几何性质的相同或类似之处，理解它们的区别与联系。

　　深化知识，完成新知识体系的构建。

　　活动六：布置作业

　　要求学生进一步类比探究焦点在轴上的双曲线的几何性质。

　　学以致用，用所学方法解决同类问题。

　　七、板书设计

　　4.1双曲线的简单几何性质

　　一、复习：

　　二、探究：

　　三、思考：

　　分析：

　　四、猜想：

　　证明：

　　五、小结

　　六、作业

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