高一数学《集合之间的关系与运算》教学计划

　　教学分析

　　课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等.

　　值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.

　　三维目标

　　1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.

　　2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想.

　　重点难点

　　教学重点：交集与并集、全集与补集的概念.

　　教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.

　　课时安排

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：尚大志

　　导入新课

　　思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.

　　思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.

　　引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.

　　思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系?

　　图1

　　②观察集合A，B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

　　学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么?

　　(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(4)试用Venn图表示A∪B=C.

　　(5)请给出集合的并集定义.

　　(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗?

　　请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.

　　(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的'语言形式来表达.

　　活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示.

　　讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并B.

　　(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如图1所示.

　　(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示.

　　(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

　　其含义用符号表示为：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　应用示例

　　例1 集合A={x|x<5 b="{x|x">0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?

　　活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

　　解：因为A={x|x<5 b="{x|x">0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　变式训练

　　1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：对任意m∈A，则有m=2n=2?2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A?B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

　　解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

　　3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;

　　当a=3时，a-1=2不合题意;

　　当a=-3时，a-1=-4不合题意.

　　故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.

　　4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　观察或由数轴得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B?A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.

　　解：由题意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B?A.

　　∴B= 或B≠ .

　　当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，

　　则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此时，B={x|x2=0}={0}?A，即a=-1符合题意.

　　若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，

　　即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，则a=1符合题意.

　　综上所得，a=1或a≤-1.

　　变式训练

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由题意知A?(A∩B)，即A?B，A非空，利用数轴得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，试求实数m的取值范围.

　　分析：由A∪B=A得B?A，则有B= 或B≠ ，因此对集合B分类讨论.

　　解：∵A∪B=A，∴B?A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　当B≠ 时，观察图4：

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