单调性与最大最小值检测试题
时间：2021-08-31关于单调性与最大最小值检测试题
1．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是( )
A．1 B．0
C.14 D．不存在
解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，
f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.
2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.
3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．不存在
解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.
4．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B.12
C.13 D．－12
解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，
∴ymin＝13－1＝12.
5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.
∴函数f(x)图象的'对称轴为x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，
∴f(0)＝－2，即a＝－2.
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
解析：∵x∈N*，∴x2≥1，
∴y＝2x2＋2≥4，
即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.
答案：4
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，
又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴1<a≤3.
答案：(1,3]
9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．
解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，
∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，
f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.
答案：23 12
10．已知函数f(x)＝x2 －12≤x≤11x 1＜x≤2，
求f(x)的最大、最小值．
解：当－12≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；
当1＜x≤2时，由f(x)＝1x，得f(2)≤f(x)＜f(1)，
即12≤f(x)＜1.
综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.
11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－300050×50，
整理得
f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.
所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．
12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；
当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；
当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；
当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.
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