高一数学第三章同步训练题:函数与方程

　　在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。小编准备了高一数学上册第三章同步训练题，具体请看以下内容。

　　1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内()

　　A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根

　　C.有唯一的实数根 D.没有实数根

　　解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数，

　　f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.

　　答案：C

　　2.(2014长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：

　　x123456

　　f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

　　则函数f(x)存在零点的区间有

　　()

　　A.区间[1,2]和[2,3]

　　B.区间[2,3]和[3,4]

　　C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]

　　D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

　　解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，

　　f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点.

　　答案：C

　　3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是

　　()

　　A.(3.5，+) B.(1，+)

　　C.(4，+) D.(4.5，+)

　　解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，

　　在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则1n+1m1.

　　答案：B

　　4.(2014昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间是

　　()

　　A.(0,1) B.(1,2)

　　C.(2,3) D.(3,4)

　　解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

　　答案：B

　　5.已知函数f(x)=2x-1，x0，-x2-2x，x0，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是________.

　　解析：画出f(x)=2x-1，x0，-x2-2x，x0，的'图象，如图.由函数g(x)=f(x)-m有3个零点，结合图象得：0

　　答案：(0,1)

　　6.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2 014x+log2 014x则在R上，函数f(x)零点的个数为________.

　　解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)=0，当x0时，f(x)=2 014x+log2 014x在区间0，12 014内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，+)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.

　　答案：3

　　7.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________.

　　解析：令x+2x=0，即2x=-x，设y=2x，y=-x;

　　令x+ln x=0，即ln x=-x，

　　设y=ln x，y=-x.

　　在同一坐标系内画出y=2x，y=ln x，y=-x，如图：x10

　　则(x)2-x-1=0，

　　x=1+52，即x3=3+521，所以x1

　　答案：x1

　　8.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.

　　解：(1)当a=0时，函数f(x)=-x-1为一次函数，则-1是函数的零点，即函数仅有一个零点.

　　(2)当a0时，函数f(x)=ax2-x-1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.则=1+4a=0，解得a=-14.综上，当a=0或a=-14时，函数仅有一个零点.

　　9.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围.

　　解：设f(x)=x2+(m-1)x+1，x[0,2]，

　　①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解，

　　∵f(0)=10，则应用f(2)0，

　　又∵f(2)=22+(m-1)2+1，

　　m-32.

　　②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解，

　　则0，0-m-122，f20，

　　m-12-40，-3

　　m3或m-1，-3

　　-32-1.

　　由①②可知m的取值范围(-，-1].

　　B组 能力突破

　　1.函数f(x)=x-cos x在[0，+)内

　　()

　　A.没有零点 B.有且仅有一个零点

　　C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

　　解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y=x和y=cos x的图象，如图，由于x1时，y=x1，y=cos x1，所以两图象只有一个交点，即方程x-cos x=0在[0，+)内只有一个根，所以f(x)=x-cos x在[0，+)内只有一个零点，所以选B.

　　答案：B

　　2.(2014吉林白山二模)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是

　　()

　　A.-38，18 B.-38，18

　　C.-38，18 D.-18，38

　　解析：当m=0时，函数f(x)=-x-1有一个零点x=-1，满足条件.当m0时，函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点，需满足①f(-2)f(2)0，或

　　②f-2=0，-20，或③f2=0，02.

　　解①得-18

　　答案：D

　　3.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且f(x)是偶函数，当x[0,1]时，f(x)=x，若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是________.

　　解析：由f(x+1)=f(x-1)得，

　　f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的函数.

　　∵f(x)是偶函数，当x[0,1]时，f(x)=x，

　　当x[-1,0]时，f(x)=-x，

　　易得当x[1,2]时，f(x)=-x+2，

　　当x[2,3]时，f(x)=x-2.

　　在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，即函数y=f(x)与y=kx+k的图象在区间[-1,3]上有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k的图象如图所示，结合图形易知k0，14].

　　答案：0，14]

　　4.(1)m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;

　　(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.

　　解：(1)①函数f(x)有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根=0，即4m2-4(3m+4)=0，即m2-3m-4=0，m=4或m=-1.

　　②设f(x)有两个零点分别为x1，x2，

　　则x1+x2=-2m，x1x2=3m+4.

　　由题意，有=4m2-43m+40x1+1x2+10 x1+1+x2+10

　　m2-3m-403m+4-2m+10-2m+2m4或m-1，m-5，m1，

　　-5

　　(2)令f(x)=0，

　　得|4x-x2|+a=0，

　　即|4x-x2|=-a.

　　令g(x)=|4x-x2|，

　　h(x)=-a.

　　作出g(x)、h(x)的图象.

　　由图象可知，当04，即-4

　　故a的取值范围为(-4,0).

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