参考高中数学测试题

时间：2021-08-31

　　1、．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

　　（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

　　（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

　　（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

　　（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

　　解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。

　　∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分

　　又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

　　（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

　　如取h=20,y=,……8分

　　∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

　　令x=20,y=60，得k=60

　　①

　　令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②

　　由①②解得，

　　∴。………14分

　　2、（2007年常德市第26题）．如图11，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）．

　　（1）探究：如图12，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）

　　（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的`直线于，求与的长．（7分）

　　（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？（1分）

　　解：（1）结论成立··········· 1分

　　证明：由已知易得

　　∴··················· 3分

　　∵FH//GC

　　∴············ 5分

　　（2）∵G在直线CD上

　　∴分两种情况讨论如下：

　　①

　　G在CD的延长线上时，DG=10

　　如图3，过B作BQ⊥CD于Q，

　　由于ABCD是菱形，∠ADC=60，

　　∴BC=AB=6，∠BCQ=60，

　　∴BQ=，CQ=3

　　∴BG=········ 7分

　　又由FH//GC，可得

　　而三角形CFH是等边三角形

　　∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH

　　∴，∴FH=

　　由（1）知

　　∴FG=·········· 9分

　　②

　　G在DC的延长线上时，CG=16

　　如图4，过B作BQ⊥CG于Q，

　　由于ABCD是菱形，∠ADC=600，

　　∴BC=AB=6，∠BCQ=600，

　　∴BQ=，CQ=3

　　∴BG==14………………………………11分

　　又由FH//CG，可得

　　∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6

　　∴FH=

　　又由FH//CG，可得

　　∴BF=

　　∴FG=14+············· 12分

　　（3）G在DC的延长线上时，

　　所以成立

　　结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立． 13分

　　3、（郴州市2007年第27题）．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．

　　（1） S与相等吗？请说明理由．

　　（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？

　　（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．

　　解：（1）相等

　　理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，

　　所以

　　所以即：

　　（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，

　　所以，即

　　配方得：，所以当时，

　　S有最大值3

　　（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形（每种情况得1分）