因数与倍数应用题答案
时间：2021-08-31一、求因数的个数类应用题
1、筐内有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？
分析解答：依题意，每次拿出的苹果数×拿的次数=96，这个等式说明了什么呢？说明了每次拿的苹果数和拿的次数是96的因数（或约数），这样一分析，我们就知道解答此题实际上是要求96的因数分个数有多少个。
96=3×25，因因数个数定理公式知：96的因数个数是：（1+1）×（5+1）=12个；
12个因数包括了1和96这两个因数，题目要求不能一次拿完，即：1次×96个=96个，这种情况要排除；同时也不能一个一个地拿，即：96次×1个=96个也要排除；
所以共有：12—2=10（种）拿法。
2、（1996年日本算术奥林匹克竞赛）有50张卡片，分别写着1—50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝，某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”，那么当每个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张？
分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻动几次红色朝上呢？我们需要找规律，怎样找规律呢？老师讲过——从特殊到一般找规律。我们要一下找出50张卡片的规律有困难，我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”——翻动一次，红色朝上；——翻动两次蓝色朝上（还原到原来的状态）——翻动3次又的红色朝上——翻动4次蓝色朝上……；从中找到规律：翻动奇数次的卡片是红色朝上的；翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考，1——50这50个数中那些数的因数个数是奇数？我们学习了因数的个数定理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是偶数个（包括1和自身因数），这样问题就得到了解决，看1——50中那几个数是完全平方数，显然只有：1，4，9，16，25，36，49。下面的问题就是怎么叙述解答过程，
关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到初中二年级才开始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能力，什么是推理和证明？推理是反映从已知判断得出新的判断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：假设判断——如果A 推出 B（大前提），如果有A这个条件（小前提），则必定有B（结论）；第二种形式就是选言判断，或者B成立或者B的否定成立（大前提），如果B的否定不成立，（小前提），则必有B成立（结论）。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述形式应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明，只要能够把推理的过程说清楚就可以了，现在说明推理的过程是有一定的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准备。下面叙述如下：
解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就是1—50这50个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数，1——50中完全平方数“1，4，9，16，25，36，49”的因数是奇数个，这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有7张，它们分别是：写有数的“1，4，9，16，25，36，49”卡片。
3、在100至300之间，只有三个因数的数是多少？
分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方数的因数个数是奇数个”，100至300之间的数的因数个数只有3个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数的因数都是3个呢？我们研究一下，42=16是完全平方数，它的因数个数是：42=24，根据学习过的因数个数定理：16的因数个数是：4+1=5个。同学们发现什么规律没有？——只有质数的平方的数的因数是3个，如22，32，，52，72，112，132，……，我们把问题转化为求“100至300之间有那几个数是质数的平方的数”。
解答：因为只有质数的平方的数的因数是3个，在100至300之间只有7个完全平方数：112，122，……172，但只有11，13，17是质数。所以只有112=121，132=169，172=289这三个数的因数是3个。
二、分解质因数类应用题
1、有4个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们年龄的乘积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁？
分析解答——像这种题，有的地方中考都出过，主要考察学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会出现干扰，但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设4个人的年龄分别是：X， X+1， X+2， X+3列方程是：X（X+1）（X+2）（X+3）=360， 这个方程是高次方程，一般中学生是解不出来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。
X（X+1）（X+2）（X+3）=360， 高次方程我们通过转化——把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。
原方程变形为：（X2+3X）（X2+3X+2）—360=0；
（X2+3X）2 +2（X2+3X）—360=0
上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一步。
设：（X2+3X）=Y， 即：Y2+2Y—360=0， 解答Y1= —20（舍去），Y2=18；
因假设知：（X2+3X）=18，解这个一元二次方程：X1= —6（舍去），X2=3
这样4个人年龄中最大的是：X+3=6岁。
方法二，分解质因数方法
从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。
360=23×32×5；
然后按照题意，把上面分解后的6个数进行组合成为4个数的乘积，即：
360=3×4×5×6； 显然最大的年龄是6岁。
2，某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树572棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？
分析解答——依题意知道 ，植树总数=每人植树棵数×师生总数，
师生总数=每组学生数×3组+1名老师，说明师生总数除以3，余数是1。
572=2×2×11×13，
依题意，把分解得到是质因数进行组合得：
572=11×52=11×（51+1）
因此，这个班学生51人，每人植树11棵；
注意：572=44×13=44×（12+1），这里，全班人数12人，老师1人，每人植树44棵情况不符合题意——一个班学生人数应该不是12人；
三、奇数与偶数类应用题
自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。
奇数与偶数的性质奥数教材第21页进行了归纳，这些性质要熟记。几点要注意：
1，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数；
2，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是：偶数个奇数的差是偶数，奇数个奇数的差仍然是奇数；
3、奇数≠偶数
例题1：9只杯子全部口朝上，每次翻动其中的4只杯子，能否经过若干次翻动，使9只杯子开口全部朝下？
分析解答——由题目知道，每次翻动4只杯子，翻动若干次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道 ，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子，翻动1次口朝下，翻动2次口朝上，翻动3次口朝下……，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找到了解答的方案。
叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要使9只杯子口全部朝下，翻动的总次数是9个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依题意，每次翻动4只杯子，翻动的总次数是4的倍数，这个总次数是偶数，前后矛盾，即奇数≠偶数，所以，无论怎么翻动，都不能使9只杯子的口朝下。
例题2（奇偶性中的周期问题）一个会议室有9盏灯，从1——9依次编号，开始时，只有编号是2，6，9的灯是亮着的，一个同学按1——9，再按1——9顺序不停地拉动开关，一共拉了300下，这时编号是几的灯是不亮着的。
分析解答——每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，即暗的'变亮，亮的变暗。
300÷9=33……3，所以，1，2，3号灯拉动了34次，拉了偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是暗的仍然暗；4，5，6，7，8，9拉了33下，是奇数下，改变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不亮的灯是：1，3，6，9号。
四，数的倍数（整除）类应用题
数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问题类应用题，必须对2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13倍数的数的特征（或能够被以上数整除的数的特征）十分清楚，并能够把知识灵活运用。
例题1（奥数教材第29页练习3）六一儿童节快到了，四（2）班的同学分成4组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了246朵绸花”，马大哈统计对了吗？为什么？
分析解答——四（2）班同学做的花总数=每个组做的花×4，花的总数是4的倍数；下面就看246朵是不是4的倍数，问题就解决了。
答：马大哈统计错了。因为，花的总数=每个组做的花×4，花的总数是4的倍数；4是倍数的数的特征是末两位数的4的倍数，而246的麦两位数46不能被4整除，246不是4的倍数，所以，马大哈统计错了。
例2、有72名学生，共交课间餐费A52.7B元，平均每人交多少元？
分析解答——把课间餐费化为分，则总钱数A527B（分）一定是总人数72的倍数，又72=8×9，所以，A527B是8和9的倍数。根据8的倍数特征：一个数的后三位组成的数是8的倍数，这个数就是8的倍数。即：27B是的的倍数，只有B=2， 这个数变为了A5272，又这个数是9的倍数，它的各位数字之和是9的倍数，A+5+2+7+2=A+16，所以，A=2，72名学生的课间餐费总数是：25272分；平均每个同学交：25272÷72=351（分）=3.51（元）
例题3（奥数教材第34页练习4）、新学期开学了，学校为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了18个书架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下2个数字“2**0元”， 总价也只剩下2个数字“*4*8*元”你能帮助算出单价和总价吗？
分析解答——由题意，总价一定是18的倍数，又18=2×9，总价一定能够被2和9整除，又单价的个位数字是0，18乘以单价的个位数字一定是0，所以，总价的个位数为0，即：总价是：A4B80元，这个数是2、9的倍数。又知道单价是2千多元，总价一定：
18×2000<总价<18×2990，36000<总价<53820，而总价的千位上的数字是4，所以总价万位的的数字只能是4，所以总价是：44B80， 4+4+B+8+0=16+B要是9的倍数，则B=2， 总价是44280元，单价是：44280÷18=2460（元）
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