高三数学模拟试题
时间：2021-08-31一、单选题(每小题5分，共50分)
1.已知集合 ， ，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知 的图像在 上连续，则 是 在 内有零点的( )条件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3. 下列函数中周期为 且在 上为减函数的是( )
A. B. C. D.
4.设 为定义R上在的奇函数，当 时， ( 为常数)，则 ( )
A. B. C. 1 D. 3
5.若非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 等差数列 中，已知 ，则 ( )
A. B. 24 C. 22 D. 20
7.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 ∥ ， ，则 ∥ ; B.若 ∥ ， ， ，则 ∥ ;
C.若 ， ，则 ∥ ; D. 若 ∥ ， ， ，则 ∥ .
8.直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 在上 恒有 ，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数 的图像上;②P和Q关于原点对称,则称点对 是函数 的一对友好点对( 与 看作同一对友好点对)。已知函数 ，则此函数的友好点对有( )
A. 0对 B. 1对 C.2对 D. 3对
二.填空题(每小题5分，共25分)
11. 已知i是虚数单位， 为实数,且复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 =_______.
12. 空间直角坐标系中，已知点 ，P点关于 平面的对称点为 ，则 =_________
13.设 满足 ，则 的最小值为_________
14. 已知数列 满足 ， ， 则 的最小值是_________.
15.下列命题中正确命题的序号是：___________
①两条直线 ， 和两条异面直线 ， 相交，则直线 ， 一定异面;
② ，使 ;
③ 都有 ;
④ ，使 是幂函数，且在 上递减;
⑤ 函数 都不是偶函数。
三.解答题(共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.已知函数 ，
(1)若 的解集是 ，求 ， 的值;
(2)若 = ，解关于 的不等式 .
17.如图，四棱锥 中, 平面 ，底面四边形 为矩形， 为 中点，
(1)求证：
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ，若存在，指出 的位置;若不存在，说明理由。
18.如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40km处，受影响的范围是半径为20km的圆形区域。已知港口B位于台风中心正北30km处。
(1)建立适当的坐标系，写出直线AB的方程;
(2)如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?(不考虑台风中心的移动)
19. A，B,C是△ABC的内角， ， , 分别是其对边，已知 ， ,且 ∥ ，B为锐角，
(1)求B的.大小;(2)如果 ，求△ABC的面积的最大值。
20.已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点 ，( )都在函数 的图像上，
(1)求 的通项公式;
(2)令 ，求 的前n项和 ;
(3)令 ，证明： ， 。
21.已知 ,函数 ， ， ，(其中e是自然对数的底数，为常数),
(1)当 时，求 的单调区间与极值;
(2)在(1)的条件下，求证： ;
(3)是否存在实数 ，使得 的最小值为3. 若存在，求出 的值，若不存在，说明理由。
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