正弦定理的教学设计
时间：2021-08-31一教学内容分析
正弦定理是《普通高中课程标准数学教科书数学(必修5)》(人教版)第一章第一节的主要内容它既是初中解直角三角形内容的直接延拓也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产生活实际问题的重要工具因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有别的证法吗?这些都是教材没有回答而确实又是学生所关心的问题。
本节课是正弦定理教学的第一课时其主要任务是引入并证明正弦定理在课型上属于定理教学课。因此做好正弦定理的教学不仅能复习巩固旧知识使学生掌握新的有用的知识体会联系发展等辩证观点而且通过对定理的探究能使学生体验到数学发现和创造的历程进而培养学生提出问题解决问题等研究性学习的能力。
二学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容在必修4中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容对解直角三角形三角函数平面向量已形成初步的知识框架这不仅是学习正弦定理的认知基础同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程并能运用它解决一些实际问题可以使学生进一步了解数学在实际中的应用从而激发学生学习数学的兴趣也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
三设计思想
培养学生学会学习学会探究是全面发展学生能力的重要前提是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习学会探究呢?建构主义认为：知识不是被动吸收的而是由认知主体主动建构的。这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的而是学生在一定的情境中运用已有的学习经验并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作主动建构而获得的建构主义教学模式强调以学生为中心视学生为认知的主体教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节正弦定理的教学将遵循这个原则而进行设计。
四教学目标
1知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索掌握正弦定理的`内容及其证明方法。
2过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中边与其对角的关系引导学生通过观察归纳猜想证明由特殊到一般得到正弦定理等方法体验数学发现和创造的历程。
3情感态度与价值观：在平等的教学氛围中通过学生之间师生之间的交流合作和评价实现共同探究教学相长的教学情境。
五教学重点与难点
重点：正弦定理的发现和推导
难点：正弦定理的推导
教学准备：制作多媒体课件学生准备计算器直尺量角器。
六教学过程设计
（一）设置情境
教师：展示情景图如图1船从港口B航行到港口C测得BC的距离为
船在港口C卸货后继续向港口A航行由于船员的疏忽没有测得CA距离如果船上有测角仪我们能否计算出AB的距离?
学生：思考提出测量角AC。
教师：若已知测得
如何计算AB两地距离?
师生共同回忆解直角三角形①直角三角形中已知两边可以求第三边及两个角。②直角三角形中已知一边和一角可以求另两边及第三个角。
教师引导：
是斜三角形能否利用解直角三角形精确计算AB呢?
设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头那就意味着成功的一半。因此我通过从学生日常生活中的实际问题引入激发学生思维激发学生的求知欲引导学生转化为解直角三角形的问题在解决问题后对特殊问题一般化得出一个猜测性的结论猜想培养学生从特殊到一般思想意识培养学生创造性思维能力。
（二）数学实验验证猜想
教师：给学生指明一个方向我们先通过特殊例子检验
是否成立举出特例。
(1)在△ABC中ABC分别为
对应的边长a：b：c为1：1：1对应角的正弦值分别为
引导学生考察
的关系。(学生回答它们相等)
(2)在△ABC中ABC分别为
对应的边长a：b：c为1：1：
对应角的正弦值分别为
1;(学生回答它们相等)
(3)在△ABC中ABC分别为
对应的边长a：b：c为1：
：2对应角的正弦值分别为
1。(学生回答它们相等)(图3)
教师：对于
呢?
学生：思考交流得出如图4在Rt
ABC中设BC=a,AC=b,AB=c,
则有
又
,
则
从而在直角三角形ABC中
教师：那么任意三角形是否有
呢?
借助于电脑与多媒体利用《几何画板》软件演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论：
对于任意三角形都成立。
设计意图：通过《几何画板》软件的演示使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。
（三）证明猜想得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验多媒体技术支持对任意的三角形如何用数学的思想方法证明
呢?前面探索过程对我们有没有启发?学生分组讨论每组派一个代表总结。(以下证明过程根据学生回答情况进行叙述)
学生：思考得出
(1)在
中成立如前面检验。
(2)在锐角三角形中如图5设
(3)在钝角三角形中如图6设
同锐角三角形证明可知
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等即
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教师：还有其它证明方法吗?
学生：思考得出分析图形(图7)对于任意△ABC由初中所学过的面积公式可以得出：
而由图中可以看出：
等式
中均除以
后可得
即
教师边分析边引导学生同时板书证明过程。
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高
三角形的面积：
能否得到新面积公式
学生：
得到三角形面积公式
设计意图：经历证明猜想的过程进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：马上得出
在
中
（五）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念形成知识的完整性。
教师：一般地把三角形的三个角
和它们的对边
叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理重新解决引例让学生体会用新的知识新的定理解决问题更方便更简单激发学生不断探索新知识的欲望。
（六）运用定理解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
(1)如果已知三角形的任意两个角与一边求三角形的另一角和另两边如
;
(2)如果已知三角形任意两边与其中一边的对角求另一边与另两角如
。
师生：例1的处理先让学生思考回答解题思路教师板书让学生思考主要是突出主体教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在
中已知
解三角形。
分析已知三角形中两角及一边求其他元素第一步可由三角形内角和为
求出第三个角C再由正弦定理求其他两边。
例2：在
中已知
解三角形。
例2的处理目的是让学生掌握分类讨论的数学思想可先让中等学生讲解解题思路其他同学补充交流。
学生：反馈练习(教科书第5页的练习)
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题提高学生学习的热情和动力使学生体验到成功的愉悦感变要我学为我要学我要研究的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流归纳总结。
师生：让学生尝试小结教师及时补充要体现：
(1)正弦定理的内容(
)及其证明思想方法。
(2)正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边求其他元素;②已知三角形中两边和其中一边所对的角求其他元素。
(3)分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第12题。
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