行阶梯形矩阵方法总结

时间:2021-08-31

  在线性代数的学习中,利用矩阵的初等行变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩阵,是一种很重要的运算。以下是小编整理ID行阶梯形矩阵方法总结,欢迎阅读!

  行阶梯形矩阵,Row—Echelon Form,是指线性代数中的矩阵。

  阶梯形矩阵

  如果:

  所有非零行(矩阵的行至少有一个非零元素)在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。

  非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元, 即最左边的首个非零元素(某些地方要求首项系数必须为1),严格地比上面行的首项系数更靠右。

  首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零 (前两条的推论)。

  这个矩阵是行阶梯形矩阵:

  化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form), 也称作行规范形矩阵(row canonical form),如果满足额外的条件:

  每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:

  注意,这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。 例如,如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:

  因为第3列并不包含任何行的首项系数。

  矩阵变换到行阶梯形

  通过有限步的行初等变换, 任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间, 因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。

  行阶梯形的结果并不是唯一的。例如,行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是,可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。

  一个线性方程组是行阶梯形,如果其增广矩阵是行阶梯形。 类似的,一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形',如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。