一、不定积分的概念和性质
若F(x)f(x),则f(x)dxF(x)C, C为积分常数不可丢!
性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C()1x2arcsinxC(arccosxC)
直接积分法:对被积函数作代数变形或三角变形,化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法:
1.第一类换元法(凑微分法)
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常见凑微分:
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况:
若被积函数为一个函数,比如:e2xdxe2x1dx, 若被积函数多于两个,比如:sinxcosx1sin4xdx,要分成两类;
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);
(4)若被积函数为三角函数偶次方,降次;奇次方,拆项;
2.第二类换元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:
(1) 对被积函数直接去根号;
(2) 到代换x1; t
(3) 三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx,t
f(xx,x
asect
f(xx,xasint
f(xx,xatant f(ax)dx,ta
x
f(xx,t
三、分部积分法:uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的选取原则:按“ 反对幂三指” 的顺序,谁在前谁为u,后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算;
(3)适用于两个异名函数相乘的情况,若被积函数只有一个,比如:
arcsinx1dx,
u
v
(4)多次使用分部积分法: uu求导 vv积分(t;