高中导数知识点总结

时间:2021-08-31

  导数是微积分中的重要基础概念。下面,小编为大家分享高中导数知识点总结,希望对大家有所帮助!

  导数的定义:

  当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。

  函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0[x0,f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

  一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则:设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大,函数曲线变得“陡峭”,呈上升状)。如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以,当f'(x)=0时,y=f(x )有极大值或极小值,极大值中最大者是最大值,极小值中最小者是最小值

  求导数的步骤:

  求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:

  ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)

  ② 求平均变化率

  ③ 取极限,得导数。

  导数公式:

  ① C'=0(C为常数函数);

  ② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数

  ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)

  ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

  ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)

  导数的应用:

  1.函数的`单调性

  (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想。 一般地,在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。 如果在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)是常数函数。 注意:在某个区间内,f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如f(x)=x3在R内是增函数,但x=0时f'(x)=0。也就是说,如果已知f(x)为增函数,解题时就必须写f'(x)≥0。

  (2)求函数单调区间的步骤(不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言?1。定义最基础求法2。复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域; ②求导数; ③由(或)解出相应的x的范围。当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数。

  2.函数的极值

  (1)函数的极值的判定

  ①如果在两侧符号相同,则不是f(x)的极值点;

  ②如果在附近的左右侧符号不同,那么,是极大值或极小值。

  3.求函数极值的步骤

  ①确定函数的定义域; ②求导数; ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点,即求方程及的所有实根; ④检查在驻点左右的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值。

  4.函数的最值

  (1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a,b)内一点处取得的,显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值),它是f(x)在(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在[a,b]的端点a或b处取得,极值与最值是两个不同的概念。

  (2)求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a,b)内的极值; ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

  5.生活中的优化问题

  生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题,优化问题也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最大(小)值问题。

  

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