《降次-解一元二次方程》教学计划

时间:2021-08-31

《降次-解一元二次方程》教学计划

  教学内容

  本节课主要学习运用配方法,即通过变形运用开平方法降次解方程。

  教学目标

  探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤;能够利用配方法解一元二次方程.

  过程与方法

  在探索配方法时,使学生感受前后知识的联系,体会配方的过程以及方法。

  渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法.

  情感态度价值观

  继续体会由未知向已知转化的思想方法.

  重难点、关键

  重点:用配方法解一元二次方程.

  难点:正确理解把 形的代数式配成完全平方式.

  关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

  教学准备

  教师准备:制作课件,精选习题

  学生准备:复习有关知识,预习本节课内容

  教学过程

  一、复习引入

  【问题】

  (学生活动)请同学们解下列方程

  (1) (2) ①

  第一题口答,第二题一个学生板书,其他做作业本,目的检验学生对上节课知识的掌握情况。

  你会解下面这个方程吗?

  (3) ②

  让学生总结什么样的方程可以使用直接开平方法求解。

  上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得

  x=± 或mx+n=± (p≥0).

  【活动方略】

  教师演示课件,给出题目.学生根据所学知识解答问题.

  【设计意图】

  复习直接开门平方法,解形如(mx+n)2=p(p≥0)的形式的方程,为继续学习引入作好铺垫.

  二、探索新知

  (一)提出问题

  你能用直接开平方法解(1) ③吗?

  生:将方程③左右两边都加4,就是刚才做的第②题。

  师:也就是说通过加4实现了什么样的目的?

  生:使方程的左边变为完全平方的形式,从而可以用直接开平方法求解。

  即 , 即 ……

  提出配方的概念:

  这种通过配成完全平方的形式来求解初一元二次方程的解的方法,我们把它称为配方法解一元二次方程。

  提问:你会怎么解 ④?

  生:两边同时加4.

  师:很好,不论是解③还是解④,大家的目标很统一,都是想通过配方将方程的左边变为完全平方的形式,右边为非负数,也就是化归为可以利用直接开平方法求解的方程的形式,化归思想是数学中非常重要的思想。很显然,在解这两题过程中有一步是非常重要的,哪一步?

  生:配方。

  (二)合作探究:

  师:那配方是否有规律可循呢?下面我们一起来探究一下

  提出问题:那方程两边同时加上的的这个数有没有什么规律呢,也就是配方配上的这个数有什么规律呢?我们一起来做一下下面这组题。

  练习:填上适当的数或式,使下列各等式成立:

  (1) = ( )2

  (2) = ( )2

  (3) =( )2

  观察上面各式的特点,1)二次项系数都是1,

  2)都只含有x的二次项和一次项

  3)都要化为完全平方的形式

  根据完全平方公式的特点,我们必须填上一个常数,而且这个常数等于一次项系数的一半的平方。

  即: = ( )2

  因此我们发现若一个完全平方式只给出二次项与一次项,且二次项系数为1时,我们的配方有规律可循,只要加上一次项系数的一半的平方,就能配成完全平方的形式。那我们再回过头来解 ,你会怎么解呢?

  教师启发引导学生得出二次项系数为1的一元二次方程 的解法:

  1、 移项:将常数项移到方程的右边,使方程的左边只剩下二次项和一次项

  2、 配方:方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程的左边能化为完全平方的形式

  3、 变形:左边因式分解,右边合并同类项;

  4、 利用直接开平方法求解。

  现在我和你们一起来实战练习一下

  x2+6x-16=0,教师规范解题步骤

  移项得:x2+6x=16

  配方得: x2+6x+9=16+9,

  即

  即

  老师活动:

  在学生讨论方程x2+6x=16的解法时,注意引导学生根据化归的思想,利用配方的方法解决问题,进而体会配方法解方程的一般步骤.

  随堂练习:

  现在我要检验一下大家对配方法解二次项系数为1的一元二次方程的掌握情况

  练习:利用配方法解下列方程

  (1)x2-8x + 1 = 0;(2) (3)

  学生首先独立思考,自主探索,然后交流配方时的规律.经过分析(1)中经过移项可以化为 ,为了使方程的左边变为完全平方式,可以在方程两边同时加上42,得到 ,得到(x-4)2=15;

  做完的同学做下面3题

  (4)-x2+8x=1;(5) (6)

  【活动方略】学生活动:

  (4)中二次项系数是-1,此时可以首先把方程的`两边同时除以二次项系数-1,然后再进行配方,

  (5)中二次项系数不是1,方程两边先除以4,再移项发现就是第(2)题,按照(2)的方式进行处理.

  (6)可通过变形化为(3)处理

  在解这三题的过程中,再次让学生体会化归的思想

  教师活动:

  在学生解决问题的过程中,适时让学生讨论解决遇到的问题(比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理),然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤:

  (1)系数化1:二次项系数化为1

  (2)移项:把方程的常数项通过移项移到方程的右边;

  (3)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

  (4)变形:左边因式分解,右边合并同类项;

  (5)直接开平方求解.

  【设计意图】主体探究、通过解几个具体的方程,归纳作配方法解题的一般过程.

  三、知识应用,挑战自我

  1、 书本问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 cm,并且面积为16 cm2,场地的长和宽分别是多少?

  2、 利用配方法解方程

  ( )

  思考:利用配方法解一元二次方程

  【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况.

  【设计意图】 从特殊到一般,为下节课做铺垫。

  四、 课堂总结

  1.问题:

  本节你遇到了什么问题?在解决问题的过程中你采取了什么方法?

  如果一个一元二次方程不能直接开平方解,可把方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法.

  2.作业:每课一练

  【活动方略】教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程.

  学生独立完成作业,教师批改、总结.

  【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识

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