高一数学《之间的关系与运算》教学计划

时间:2021-08-31

高一数学《集合之间的关系与运算》教学计划

  教学分析

  课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.

  值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.

  三维目标

  1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.

  2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.

  重点难点

  教学重点:交集与并集、全集与补集的概念.

  教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.

  课时安排

  2课时

  教学过程

  第1课时

  作者:尚大志

  导入新课

  思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.

  思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?

  (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

  (2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.

  引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.

  思路3.(1)①如图1甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系?

  图1

  ②观察集合A,B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

  学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的基本运算.

  (2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.

  ②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

  推进新课

  新知探究

  提出问题

  (1)通过上述问题中集合A,B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?

  (2)用文字语言来叙述上述问题中,集合A,B与集合C之间的关系.

  (3)用数学符号来叙述上述问题中,集合A,B与集合C之间的关系.

  (4)试用Venn图表示A∪B=C.

  (5)请给出集合的并集定义.

  (6)求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗?

  请同学们考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?

  ①A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};

  ②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.

  (7)类比集合的并集,请给出集合的交集定义,并分别用三种不同的'语言形式来表达.

  活动:先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来表示.

  讨论结果:(1)集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.

  (2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

  (3)C={x|x∈A,或x∈B}.

  (4)如图1所示.

  (5)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1所示.

  (6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.①A∩B=C,②A∪B=C.

  (7)一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.

  其含义用符号表示为:

  A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

  应用示例

  例1 集合A={x|x<5 b="{x|x">0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?

  活动:学生先思考集合中元素的特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

  解:因为A={x|x<5 b="{x|x">0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图3所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C= .

  变式训练

  1.设集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.

  解:对任意m∈A,则有m=2n=2?2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,即对任意m∈A有m∈B,所以A?B.

  而10∈B但10 A,即A B,那么A∩B=A,A∪B=B.

  2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

  解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.

  3.设集合A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.

  解:∵A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9.

  ∴a=10或a=±3.

  当a=10时,a-5=5 ,1-a=-9;

  当a=3时,a-1=2不合题意;

  当a=-3时,a-1=-4不合题意.

  故a=10.此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.

  4.设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3

  A.{x|-3

  C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

  解析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},

  观察或由数轴得A∩B={x|-3

  答案:A

  例2 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.

  活动:明确集合A,B中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A,B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,B?A,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A,B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A,B的关系,从数轴上分析求得a的值.

  解:由题意得A={-4,0}.

  ∵A∩B=B,∴B?A.

  ∴B= 或B≠ .

  当B= 时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,

  则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

  当B≠ 时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,

  此时,B={x|x2=0}={0}?A,即a=-1符合题意.

  若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,

  即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

  则有-4+0=-2(a+1),-4×0=a2-1.

  解得a=1,则a=1符合题意.

  综上所得,a=1或a≤-1.

  变式训练

  1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

  解:由题意知A?(A∩B),即A?B,A非空,利用数轴得 解得6≤a≤9,即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

  2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m -1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.

  分析:由A∪B=A得B?A,则有B= 或B≠ ,因此对集合B分类讨论.

  解:∵A∪B=A,∴B?A.

  又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ,∴B= ,或B≠ .

  当B= 时,有m+1>2m-1,∴m<2.

  当B≠ 时,观察图4:

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