数学第四章《圆与方程》复习测试题

时间:2021-08-31

  三、解答题

  11.已知为圆上任意一点,点的坐标为(-2,3).

  ⑴求的最大值和最小值;

  ⑵若P()在圆上,求线段的长及直线的斜率.

  考查目的:考查圆的方程的互化,直线的斜率,点和圆、直线和圆的位置关系及其运用.

  答案:⑴,;⑵,.

  解析:⑴圆的方程可化为,∴圆心的坐标为(2,7),半径,∴,∴,.

  ⑵∵点P()在圆上,∴,解得,∴点P的坐标为(4,5),∴,.

  12.设圆上的点A(2,3)关于直线的对称点仍在圆上,且圆与直线相交的弦长为,求圆的方程.

  考查目的:考查圆的方程及其性质,直线与圆的位置关系.

  答案:圆的方程为或.

  解析:设圆的方程为.∵圆上的点A(2,3)关于直线的对称点仍在圆上,∴圆心在上,∴①.

  ∵圆被直线截得的弦长为,∴②.

  由点A(2,3)在圆上,得③.

  联立①②③,解得或

  ∴圆的方程为或.

  13.已知圆C:内有一点P(2,2),过点P作直线交圆C于A、B两点.

  ⑴当直线经过圆心C时,求直线的方程;

  ⑵当弦AB被点P平分时,写出直线的方程;

  ⑶当直线的倾斜角为时,求弦AB的长.

  考查目的:考查直线与圆的位置关系,以及直线方程的求法.

  答案:⑴;⑵;⑶.

  解析:⑴已知圆C:的圆心为C(1,0).∵直线经过点P、C,∴直线的斜率为2,直线的方程为,即.

  ⑵当弦AB被点P平分时,直线⊥PC,∴直线的方程为,即.

  ⑶当直线的倾斜角为时,斜率为1,直线的方程为,即.又∵圆心C(1,0)到直线:的距离为,圆C的半径为3,∴弦AB的长为.

  14.已知圆P:与以原点为圆心的圆Q关于直线对称.

  ⑴求的值;

  ⑵若两圆的交点为A、B,求∠AOB的度数.

  考查目的:考查直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系及其综合应用.

  答案:⑴;⑵.

  解析:⑴圆P:的方程可写成.

  ∵圆P:和以原点为圆心的圆Q关于直线对称,

  ∴直线是以两圆圆心P、Q为端点的线段的垂直平分线,

  ∴,解得.

  ∵点(0,0)与(-4,2)的中点(-2,1)在直线上,∴,解得.

  ⑵圆心P(-4,2)到的距离为,

  又∵圆P的半径为,∴,由得.

  15.(2008江苏)设平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:

  ⑴求实数的取值范围;

  ⑵求圆C的方程;

  ⑶问圆C是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论.

  考查目的:考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法.

  答案:⑴且;⑵;⑶圆C必过定点(0,1),(-2,1).

  解析:⑴∵圆C经过二次函数图象与坐标轴的三个交点,∴.令,得抛物线与轴的交点是(0,).令,得,此时,解得.∴实数的取值范围是且.

  ⑵设所求圆的一般方程为.令,得,这与是同一个方程,∴,.令,得,此方程有一个根为,代入得.∴圆C的方程为.

  ⑶圆C过定点,证明如下:假设圆C经过定点.将该点坐标代入圆C的方程,并变形得①.①式对所有满足且的实数都成立,必须且,解得或.经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上,∴圆C经过定点.