导数的概念测试题

时间:2021-08-31

导数的概念测试题汇编

  1.函数在某一点的导数是()

  A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

  B.一个函数

  C.一个常数,不是变数

  D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

  [答案] C

  [解析] 由定义,f(x0)是当x无限趋近于0时,yx无限趋近的常数,故应选C.

  2.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为()

  A.6 B.18

  C.54 D.81

  [答案] B

  [解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,

  s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332

  =18t+3(t)2st=18+3t.

  当t0时,st18,故应选B.

  3.y=x2在x=1处的导数为()

  A.2x B.2

  C.2+x D.1

  [答案] B

  [解析] ∵f(x)=x2,x=1,

  y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2

  yx=2+x

  当x0时,yx2

  f(1)=2,故应选B.

  4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的'单位:m,t的单位:s),则t=5时的瞬时速度为()

  A.37 B.38

  C.39 D.40

  [答案] D

  [解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t,

  s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故应选D.

  5.已知函数y=f(x),那么下列说法错误的是()

  A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函数值的增量

  B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函数在x0到x0+x之间的平均变化率

  C.f(x)在x0处的导数记为y

  D.f(x)在x0处的导数记为f(x0)

  [答案] C

  [解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.

  6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y|x=x0,即()

  A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

  B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]

  C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x

  D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

  [答案] D

  [解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.

  7.函数y=ax2+bx+c(a0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于()

  A.4a B.2a+b

  C.b D.4a+b

  [答案] D

  [解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx

  =4a+b+ax,

  y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故应选D.

  8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是()

  A.圆 B.抛物线

  C.椭圆 D.直线

  [答案] D

  [解析] 当f(x)=b时,f(x)=0,所以f(x)的图象为一条直线,故应选D.

  9.一物体作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度为()

  A.0 B.3

  C.-2 D.3-2t

  [答案] B

  [解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t,

  s(0)=limt0 st=3.故应选B.

  10.设f(x)=1x,则limxa f(x)-f(a)x-a等于()

  A.-1a B.2a

  C.-1a2 D.1a2

  [答案] C

  [解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a

  =limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.

  二、填空题

  11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则

  limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;

  limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

  [答案] -11,-112

  [解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x

  =-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;

  limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x

  =-12f(x0)=-112.

  12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.

  [答案] 0

  [解析] ∵y=1+x+11+x-1+11

  =x-1+1x+1=(x)2x+1,

  yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.

  13.已知函数f(x)=ax+4,若f(2)=2,则a等于______.

  [答案] 2

  [解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a,

  f(1)=limx0 yx=a.a=2.

  14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f(3)=-2,则limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.

  [答案] 8

  [解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

  =limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.

  由于f(3)=2,上式可化为

  limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.

  三、解答题

  15.设f(x)=x2,求f(x0),f(-1),f(2).

  [解析] 由导数定义有f(x0)

  =limx0 f(x0+x)-f(x0)x

  =limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0,

  16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0105m/s2,枪弹从枪射出时所用时间为1.610-3s,求枪弹射出枪时的瞬时速度.

  [解析] 位移公式为s=12at2

  ∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2

  st=at0+12at,

  limt0 st=limt0 at0+12at=at0,

  已知a=5.0105m/s2,t0=1.610-3s,

  at0=800m/s.

  所以枪弹射出枪时的瞬时速度为800m/s.

  17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+x,4+y),求(1)yx (2)f(1).

  [解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x

  =(1+x)2+3-12-3x=2+x.

  (2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x

  =limx0 (2+x)=2.

  18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.

  [解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)

  y=f(0+x)-f(0)=f(x)

  =x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)

  limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1,

  limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1,

  ∵limx0- ylimx0+ yx,x0时,yx无极限.

  函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.(x0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x0且x趋近于0)

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