中考方程应用题与答案

时间:2021-08-31

中考方程应用题与答案

  【前言】在中考中,有一类题目说难不难,说不难又难,有的时候三两下就有了思路,有的时候苦思冥想很久也没有想法,这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分,所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看,结合时事热点考的比较多,所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中,这类题目几乎要么得全分,要么一分不得,但是也就那么几种题型,所以考生只需多练多掌握各个题类,总结出一些定式,就可以从容应对了。

  第一部分 真题精讲

  【例1】家电下乡农民得实惠,根据家电下乡的有关政策:农户每购买一件家电,国家将按每件家电售价的 补贴给农户,小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机,他从乡政府领到了390元被贴款,若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元,问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元?

  【思路分析】首先仔细看题,明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000,那么一方面可以设一个未知数彩电为x,那么洗衣机自然就可以用x-1000表示,另一方面也可以直接设两个未知数彩电x和洗衣机y,利用高1000的条件制造等量关系。其次说补贴是售价的13%,而又明确给出小明的爷爷领到了390元,所以这390元就是售价的补贴。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组 。这一题要把握的就是两个等量关系,一个是售价差等于1000,另一个是售价的13%等于补贴。于是可以得出答案。

  【解析】(列方程组解)

  解:设一台彩电的售价为 元,一台洗衣机的售价为 元.

  根据题意得:

  解得

  答:一台彩电售价2000元,一台洗衣机售价1000元.

  【例2】某采摘农场计划种植 两种草莓共6亩,根据表格信息,解答下列问题:

  项目 品种 A B

  年亩产(单位:千克) 1200 2000

  采摘价格(单位:元/千克) 60 40

  (1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 元,那么 两种草莓各种多少亩?

  (2)若要求种植 种草莓的亩数不少于种植 种草莓的一半,那么种植 种草莓多少亩时,可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?

  【思路分析】本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是A的亩产乘以价格加上B的亩产乘以价格,列出方程即可。至于第二问则是先根据种植 种草莓的亩数不少于种植 种草莓的一半列出不等式,求出A种草莓的范围,然后列出函数式来看在范围内总收入最大值是多少。

  【解析】

  解:设该农场种植 种草莓 亩, 种草莓 亩

  依题意,得: 2分

  解得: ,

  (2)由 ,解得

  设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元,则:

  当 时, 有最大值为464000

  答:(l) 种草莓种植2.5亩, 种草莓种植3.5亩.

  (2)若种植 种草莓的亩数不少于种植 种草莓的一半,那么种植 种草莓2亩时,可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.

  【例3】2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开.从某地到哥本哈根,若乘飞机需要3小时,若乘汽车需要9小时.这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克,飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克,分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量.

  【思路分析】本题比较简单,但是涉及了时事热点,看似复杂,实际一分析就发现等量非常好找。一个是单独排放量之和等于70,另一个是排放总量之差等于54.于是可以列方程组求解。

  【解析】

  解:设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克.

  依题意,得

  解得

  答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克

  【例4】某中学拟组织九年级师生外出.下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的对话:

  李老师:客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用,60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元.

  小芳:我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车外出参观,一天的租金共计5000元.

  根据以上对话,求客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?

  【思路分析】本题两句话就是两个等式,第一句话的等式两边就是租金的差价,第二句话的两边是总租金的和。本题虽然也比较简单,但是随时可能有变化的空间。例如说八年级师生一共有xx人,问怎样租车最经济。那么依然是做一个函数然后看函数的最小值。这种思路中考中也会比较容易考到,大家可以多发散思考一下。

  【解析】

  解:设客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为 元和 元.

  由题意,列方程组

  解之得

  答:客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元

  【例5】《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片,某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利.该企业每天生产两种公仔共450只,两种公仔的成本和售价如下表所示.如果设每天生产羊公仔x只,每天共获利y元.

  (1)求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围;

  (2)如果该企业每天投入的成本不超过10000元,那么要每天获利最多,应生产羊公仔和狼公仔各多少只?

  类别 成本(元/只) 售价(元/只)

  羊公仔 20 23

  狼公仔 30 35

  【思路分析】本题是刚刚火热出炉的二模题,结合了社会的热点动画片来设立问题。虽然是应用题,但是却涉及了函数的思想,造成了一定的困扰。分析本题首先需要清楚获利这个概念,就是售价减成本再乘以数量。其中,每天生产的数量是定值450,所以狼公仔就要用羊公仔数去表示,然后合理列出函数表达式。第二问夹杂进了不等式,需要判断出x的范围上限和下限分别代表什麽意思,尤其是明白一次函数的单调性。

  【解析】

  解:(1)根据题意,得 =(23-20) +(35-30)(450- ),

  即 =-2 +2250.

  自变量x的取值范围是0450且x为整数.

  (2)由题意,得20 +30(450- )10000.

  解得 350.

  由(1)得350450.

  ∵ 随 的增大而减小,

  当 =350时, 值最大.

  最大=-2350+2250=1550.

  450-350=100.

  答:要每天获利最多,企业应每天生产羊公仔350只,狼公仔100只.

  【总结】列方程解应用题作为必考内容,难度一般都不会很大。但是这类问题的特点是冗余信息多,干扰思考。例如动辄来个知识背景介绍,或者模拟情景对话,简单说就是废话非常多。所以作为考生来说,碰到此类问题,第一步就是要从废话中提取有用信息,然后设元,将废话转化为数学元素。第二步就是提取题目中的等量信息。一般来讲,等量信息无非分两种,一个是个体的关系,如例5中的狼羊公仔数量和,以及不同客车的租金差;另一部分就是总体的关系,例如总收入,总支出之类的。顺风逆风问题似乎近年来很少考到,大多是和钱有关的事情(笑)。所以需要考生关注总和比少比的几倍多这种字眼,分析出等量关系去列出方程。具体操作来看,笔者比较倾向于非函数问题列二元方程去算,例如例1的解法,这样的好处是比较直观,在较为复杂的等式中如果一直用某个未知数的.关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长,容易出错。

  第二部分 发散思考

  【思考1】改革开放30年来,我国的文化事业得到了长足发展,以公共图书馆和博物馆为例,1978年全国两馆共约有1550个,至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个,博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个?

  【思路分析】本题看起来数字很多,什么1978,1550,4650,2008等等等等,但是年份都是多余的信息。仔细分析有用信息就是两馆和,两馆分别的增长量。于是设78年的两馆数量求解。但是注意的是最后题目问的是2008年的数量,所以不要忘记算一下再作答。

  【思考2】将进价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,经市场调查得知,该商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?

  【思路分析】本题也是和钱有关的题目,但是列出来的方程式一个一元二次方程,所以需要仔细对每涨价1,销售量减10这个关系进行分析。所以直接设涨价为x最为合适,利用8000元的总利润列出方程求解即可。

  【思考3】北京市实施交通管理新措施以来,全市公共交通客运量显著增加.据统计,2008年10月11日到2009年2月28日期间,地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次,地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间,地面

  公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?

  【思路分析】中考原题,正如在上面总结中所说,这类问题一定要关注总和,比xxx几倍少/多这种字眼。本题来说既然求各为多少万人次,直接设两个元。然后利用一次总和,利用一次倍差关系,轻松列出两个方程构成方程组求解。

  【思考4】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8吨甲种苹果,或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果.公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须满载.已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨,且每种苹果不少于一车.

  (1)设用x辆车装甲种苹果,y辆车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写

  出自变量x的取值范围;

  (2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示:

  苹果品种 甲 乙 丙

  每吨苹果所获利润(万元) 0.22 0.21 0.2

  设此次运输的利润为W(万元),问:如何安排车辆分配方案才能使运输利润W

  最大,并求出最大利润.

  【思路分析】本题虽然是设函数的问题,但是利用共100吨这个关系列出包含x,y的函数即可。第二问则是在第一问的基础上继续建立函数,化简后利用第一问的自变量范围求最小值。细心把握题中信息就可以了。

  第三部分 思考题解析

  【思考1解析】

  解:设1978年全国有公共图书馆x个,博物馆y个

  由题意,得

  解得 (有些同学没看清问题就直接写这个上去了,丢分很可惜)

  则 , .

  答:2008年全国有公共图书馆2650个,博物馆2000个.

  【思考2解析】

  解:设涨价x元,则售价为(50+x)元.

  依题意,列方程,得

  (50+x-40)(500-10x)=8000.

  整理,得

  x2-40x+300=0,

  解得

  x1=10,x2=30.

  答:售价应定为60或80元.

  【思考3解析】

  设轨道交通日均客运量为 万人次,地面公交日均客运量为 万人次.

  依题意,得

  解得

  答:轨道交通日均客运量为353万人次,地面公交日均客运量为1 343万人次.

  【思考4解析】

  (1)∵ ,

  y与x之间的函数关系式为 .

  ∵ y1,解得x3.

  ∵ x1, 1,且x是正整数,

  自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3.

  (2) .

  因为W随x的增大而减小,所以x取1时,可获得最大利润,

  此时 (万元).

  获得最大运输利润的方案为:用1辆车装甲种苹果,用7辆车装乙种苹果,2辆车装丙种苹果.