华杯赛的试题及解答

时间：2021-08-31

华杯赛的试题及解答

　　试题：

　　1.计算:2.00×2.0

　　(结果用最简分数表示)

　　2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水.若用12个注水管注水，8小时可注满水池;若用9个注水管注水，24小时可注满水池.现在用8个注水管注水，那么需要多少小时注满水池?

　　3.在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o。问：

　　(1)上午9：20能否恰好回到原处?

　　(2)上午9：10能否恰好回到原处?

　　如果能，请说明理由，并设计一条路线.如果不能，请说明理由。

　　4.1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少?

　　5.老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其它面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多.老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额.用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资.问他们各有8角邮票多少张?

　　6.在下面一列数中，从第二个数开始，每个数都比它前面相邻的数大7，8，15，22，29，36，43，……。

　　它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的'末尾0的个数少3个，求n的最小值.

　　解答：

　　1.答：2.00×2.0

　　原式=

　　2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的,

　　注水管每小时注水,可知有

　　即为……………………………①

　　同时由2小时用9个注水管注满水知

　　即为……………………………②

　　将①-②得可知

　　代入①中得

　　所以用8个注水管注水每小时注水

　　故需用时(小时)

　　答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.

　　3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90°,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.

　　(2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.

　　4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的数都与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即为50个数),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2，4，6，…100，5，15，25，…95。

　　这些数的和为：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=

　　而1到100的自然而然数和为：

　　所以与100互质的自然数之和为：5050-3050=2000。

　　答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.

　　5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为张.

　　由老张5角邮票金额等于8角邮票金额知

　　即为……………………………①

　　又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知

　　……………………………②

　　将①代入②中得

　　同时又由为整数知x为13的整数

　　结合上述两个条件知,又由①知

　　答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。

　　6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成的形式,即为(k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为.此时再根据第n个数又可表示为知可得

　　答:n的最小值为107。

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