华杯赛的试题及解答

时间:2021-08-31

华杯赛的试题及解答

  试题:

  1.计算:2.00×2.0

  (结果用最简分数表示)

  2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管,注水管注水时,排水管同时排水.若用12个注水管注水,8小时可注满水池;若用9个注水管注水,24小时可注满水池.现在用8个注水管注水,那么需要多少小时注满水池?

  3.在操场上做游戏,上午8:00从A地出发,匀速地行走,每走5分钟就折转90o。问:

  (1)上午9:20能否恰好回到原处?

  (2)上午9:10能否恰好回到原处?

  如果能,请说明理由,并设计一条路线.如果不能,请说明理由。

  4.1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少?

  5.老王和老张各有5角和8角的邮票若干张,没有其它面值的邮票,但是他们邮票的总张数一样多.老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同,老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额.用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余,但不够支付160元的邮资.问他们各有8角邮票多少张?

  6.在下面一列数中,从第二个数开始,每个数都比它前面相邻的数大7,8,15,22,29,36,43,……。

  它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的'末尾0的个数少3个,求n的最小值.

  解答:

  1.答:2.00×2.0

  原式=

  2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的,

  注水管每小时注水,可知有

  即为……………………………①

  同时由2小时用9个注水管注满水知

  即为……………………………②

  将①-②得可知

  代入①中得

  所以用8个注水管注水每小时注水

  故需用时(小时)

  答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.

  3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90°,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.

  (2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.

  4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的数都与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8…,100(即为50个数),含因子5的有5,10,15,20…,100但其中10,20,30,…100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2,4,6,…100,5,15,25,…95。

  这些数的和为:2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=

  而1到100的自然而然数和为:

  所以与100互质的自然数之和为:5050-3050=2000。

  答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.

  5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为张.

  由老张5角邮票金额等于8角邮票金额知

  即为……………………………①

  又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知

  ……………………………②

  将①代入②中得

  同时又由为整数知x为13的整数

  结合上述两个条件知,又由①知

  答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。

  6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成的形式,即为(k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为.此时再根据第n个数又可表示为知可得

  答:n的最小值为107。

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