因数与倍数应用题答案

时间:2021-08-31

  一、求因数的个数类应用题

  1、筐内有96个苹果,如果不一次拿出,也不一个一个地拿,要求每次拿出的个数同样多,拿完时又正好不多不少,共有多少种拿法?

  分析解答:依题意,每次拿出的苹果数×拿的次数=96,这个等式说明了什么呢?说明了每次拿的苹果数和拿的次数是96的因数(或约数),这样一分析,我们就知道解答此题实际上是要求96的因数分个数有多少个。

  96=3×25,因因数个数定理公式知:96的因数个数是:(1+1)×(5+1)=12个;

  12个因数包括了1和96这两个因数,题目要求不能一次拿完,即:1次×96个=96个,这种情况要排除;同时也不能一个一个地拿,即:96次×1个=96个也要排除;

  所以共有:12—2=10(种)拿法。

  2、(1996年日本算术奥林匹克竞赛)有50张卡片,分别写着1—50这50个数字,正反两面写的数字相同,卡片一面是红,一面是蓝,某班有50名学生,老师把50张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上,对同学们说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片,规则是:凡是卡片上的数是自己学号的倍数,就把它翻过来,蓝翻红,红翻蓝”,那么当每个同学都翻完后,红色朝上的卡片有几张?

  分析解答:由“凡是卡片上的数是学号的倍数,把它翻过来”知道,卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的,卡片上的数的因数个数是几,就翻动几次。那么一张卡片翻动几次红色朝上呢?我们需要找规律,怎样找规律呢?老师讲过——从特殊到一般找规律。我们要一下找出50张卡片的规律有困难,我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”——翻动一次,红色朝上;——翻动两次蓝色朝上(还原到原来的状态)——翻动3次又的红色朝上——翻动4次蓝色朝上……;从中找到规律:翻动奇数次的卡片是红色朝上的;翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考,1——50这50个数中那些数的因数个数是奇数?我们学习了因数的个数定理:一个完全平方数的因数是奇数个,其它的数的因数是偶数个(包括1和自身因数),这样问题就得到了解决,看1——50中那几个数是完全平方数,显然只有:1,4,9,16,25,36,49。下面的问题就是怎么叙述解答过程,

  关于怎么叙述问题,这是现在五年级学生面临的一个难点,因为此题的解答过程包含证明推理,而命题的证明要到初中二年级才开始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能力,什么是推理和证明?推理是反映从已知判断得出新的判断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式,即:假设判断——如果A 推出 B(大前提),如果有A这个条件(小前提),则必定有B(结论);第二种形式就是选言判断,或者B成立或者B的否定成立(大前提),如果B的否定不成立,(小前提),则必有B成立(结论)。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述形式,但应有统一的要求,即叙述形式应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明,只要能够把推理的过程说清楚就可以了,现在说明推理的过程是有一定的困难,不要紧,从现在去慢慢练习,也为上中学作准备。下面叙述如下:

  解答示范:每张卡片翻动奇数下红色朝上,根据规则,凡是卡片上的数是学生学号的倍数,就把卡片翻动一次。也就是1—50这50个数它有多少个因数,卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数,1——50中完全平方数“1,4,9,16,25,36,49”的因数是奇数个,这些卡片被翻动了奇数次,所以,红色卡片朝上的一共有7张,它们分别是:写有数的“1,4,9,16,25,36,49”卡片。

  3、在100至300之间,只有三个因数的数是多少?

  分析及解答:通过上面一题的解答,我们知道“完全平方数的因数个数是奇数个”,100至300之间的数的因数个数只有3个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数的因数都是3个呢?我们研究一下,42=16是完全平方数,它的因数个数是:42=24,根据学习过的因数个数定理:16的因数个数是:4+1=5个。同学们发现什么规律没有?——只有质数的平方的数的因数是3个,如22,32,,52,72,112,132,……,我们把问题转化为求“100至300之间有那几个数是质数的平方的数”。

  解答:因为只有质数的平方的数的因数是3个,在100至300之间只有7个完全平方数:112,122,……172,但只有11,13,17是质数。所以只有112=121,132=169,172=289这三个数的因数是3个。

  二、分解质因数类应用题

  1、有4个小朋友,他们的年龄恰好一个比一个大1岁,并且他们年龄的乘积是360,那么其中年龄最大的一个是多少岁?

  分析解答——像这种题,有的地方中考都出过,主要考察学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会出现干扰,但中学生因为方程的知识比较牢固,认为问题中的数量关系明显,列方程解答一定能够解出来。设4个人的年龄分别是:X, X+1, X+2, X+3列方程是:X(X+1)(X+2)(X+3)=360, 这个方程是高次方程,一般中学生是解不出来,只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下,再次说明,学习数学要学习数学方法,看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。

  X(X+1)(X+2)(X+3)=360, 高次方程我们通过转化——把它转化学习过的知识处理:初中一元二次方程。

  原方程变形为:(X2+3X)(X2+3X+2)—360=0;

  (X2+3X)2  +2(X2+3X)—360=0

  上面转化为我们学习过的一元二次方程了,这中关键的一步。

  设:(X2+3X)=Y, 即:Y2+2Y—360=0, 解答Y1= —20(舍去),Y2=18;

  因假设知:(X2+3X)=18,解这个一元二次方程:X1= —6(舍去),X2=3

  这样4个人年龄中最大的是:X+3=6岁。

  方法二,分解质因数方法

  从上面解答过程看,用代数的方法解答过程是复杂的,有时,在解答数学问题中,算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。

  360=23×32×5;

  然后按照题意,把上面分解后的6个数进行组合成为4个数的乘积,即:

  360=3×4×5×6; 显然最大的年龄是6岁。

  2,某班王老师带领全班同学去植树,学生恰好平均分成三组,如果老师与同学每人植树一样多,则共植树572棵,那么这个班有学生多少人,每人植树多少棵?

  分析解答——依题意知道 ,植树总数=每人植树棵数×师生总数,

  师生总数=每组学生数×3组+1名老师,说明师生总数除以3,余数是1。

  572=2×2×11×13,

  依题意,把分解得到是质因数进行组合得:

  572=11×52=11×(51+1)

  因此,这个班学生51人,每人植树11棵;

  注意:572=44×13=44×(12+1),这里,全班人数12人,老师1人,每人植树44棵情况不符合题意——一个班学生人数应该不是12人;

  三、奇数与偶数类应用题

  自然数按奇偶性分类,分为奇数与偶数,利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。

  奇数与偶数的性质奥数教材第21页进行了归纳,这些性质要熟记。几点要注意:

  1,偶数个奇数的和是偶数,奇数个奇数的和是奇数;

  2,在运算中,加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是:偶数个奇数的差是偶数,奇数个奇数的差仍然是奇数;

  3、奇数≠偶数

  例题1:9只杯子全部口朝上,每次翻动其中的4只杯子,能否经过若干次翻动,使9只杯子开口全部朝下?

  分析解答——由题目知道,每次翻动4只杯子,翻动若干次,那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道 ,一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子,翻动1次口朝下,翻动2次口朝上,翻动3次口朝下……,每只杯子要口朝下必须翻动奇数次,这样问题就找到了解答的方案。

  叙述解答过程:每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下,要使9只杯子口全部朝下,翻动的总次数是9个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数,所以,翻动的总次数是奇数。依题意,每次翻动4只杯子,翻动的总次数是4的倍数,这个总次数是偶数,前后矛盾,即奇数≠偶数,所以,无论怎么翻动,都不能使9只杯子的口朝下。

  例题2(奇偶性中的周期问题)一个会议室有9盏灯,从1——9依次编号,开始时,只有编号是2,6,9的灯是亮着的,一个同学按1——9,再按1——9顺序不停地拉动开关,一共拉了300下,这时编号是几的灯是不亮着的。

  分析解答——每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态,即暗的'变亮,亮的变暗。

  300÷9=33……3,所以,1,2,3号灯拉动了34次,拉了偶数下,不改变原来的状态,即原来是亮的仍然亮,原来是暗的仍然暗;4,5,6,7,8,9拉了33下,是奇数下,改变原来的的状态,原来亮的变暗,原来暗的变亮。所以不亮的灯是:1,3,6,9号。

  四,数的倍数(整除)类应用题

  数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识,无论你的学历高低都能够研究这部分的内容,通过对数论的研究,可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问题类应用题,必须对2,5;4,25;8,125;3,9;7,11,13倍数的数的特征(或能够被以上数整除的数的特征)十分清楚,并能够把知识灵活运用。

  例题1(奥数教材第29页练习3)六一儿童节快到了,四(2)班的同学分成4组做绸花,每个小组做的绸花一样多,马大哈统计了一下说“还是人多力量大,大家一共做了246朵绸花”,马大哈统计对了吗?为什么?

  分析解答——四(2)班同学做的花总数=每个组做的花×4,花的总数是4的倍数;下面就看246朵是不是4的倍数,问题就解决了。

  答:马大哈统计错了。因为,花的总数=每个组做的花×4,花的总数是4的倍数;4是倍数的数的特征是末两位数的4的倍数,而246的麦两位数46不能被4整除,246不是4的倍数,所以,马大哈统计错了。

  例2、有72名学生,共交课间餐费A52.7B元,平均每人交多少元?

  分析解答——把课间餐费化为分,则总钱数A527B(分)一定是总人数72的倍数,又72=8×9,所以,A527B是8和9的倍数。根据8的倍数特征:一个数的后三位组成的数是8的倍数,这个数就是8的倍数。即:27B是的的倍数,只有B=2, 这个数变为了A5272,又这个数是9的倍数,它的各位数字之和是9的倍数,A+5+2+7+2=A+16,所以,A=2,72名学生的课间餐费总数是:25272分;平均每个同学交:25272÷72=351(分)=3.51(元)

  例题3(奥数教材第34页练习4)、新学期开学了,学校为了使同学们有一个更加方便的读书环境,新买了18个书架,可是会计不小心把发票给弄污了,单价只剩下2个数字“2**0元”, 总价也只剩下2个数字“*4*8*元”你能帮助算出单价和总价吗?

  分析解答——由题意,总价一定是18的倍数,又18=2×9,总价一定能够被2和9整除,又单价的个位数字是0,18乘以单价的个位数字一定是0,所以,总价的个位数为0,即:总价是:A4B80元,这个数是2、9的倍数。又知道单价是2千多元,总价一定:

  18×2000<总价<18×2990,36000<总价<53820,而总价的千位上的数字是4,所以总价万位的的数字只能是4,所以总价是:44B80, 4+4+B+8+0=16+B要是9的倍数,则B=2, 总价是44280元,单价是:44280÷18=2460(元)

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