高三数学模拟试题

时间:2021-08-31

  一、单选题(每小题5分,共50分)

  1.已知集合 , ,则下列选项正确的是( )

  A. B. C. D.

  2.已知 的图像在 上连续,则 是 在 内有零点的( )条件。

  A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

  3. 下列函数中周期为 且在 上为减函数的是( )

  A. B. C. D.

  4.设 为定义R上在的奇函数,当 时, ( 为常数),则 ( )

  A. B. C. 1 D. 3

  5.若非零向量 , 满足 ,且 ,则向量 , 的夹角为( )

  A. B. C. D.

  6. 等差数列 中,已知 ,则 ( )

  A. B. 24 C. 22 D. 20

  7.已知 , 是两条不同的直线, , , 为三个不同的平面,则下列命题正确的是( )

  A.若 ∥ , ,则 ∥ ; B.若 ∥ , , ,则 ∥ ;

  C.若 , ,则 ∥ ; D. 若 ∥ , , ,则 ∥ .

  8.直线 的倾斜角的取值范围是( )

  A. B. C. D.

  9.已知定义在 上的函数 满足 ,且 的导函数 在上 恒有 ,则不等式

  的解集为( )

  A. B. C. D.

  10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件:①P和Q都在函数 的图像上;②P和Q关于原点对称,则称点对 是函数 的一对友好点对( 与 看作同一对友好点对)。已知函数 ,则此函数的友好点对有( )

  A. 0对 B. 1对 C.2对 D. 3对

  二.填空题(每小题5分,共25分)

  11. 已知i是虚数单位, 为实数,且复数 在复平面内对应的点在虚轴上,则 =_______.

  12. 空间直角坐标系中,已知点 ,P点关于 平面的对称点为 ,则 =_________

  13.设 满足 ,则 的最小值为_________

  14. 已知数列 满足 , , 则 的最小值是_________.

  15.下列命题中正确命题的序号是:___________

  ①两条直线 , 和两条异面直线 , 相交,则直线 , 一定异面;

  ② ,使 ;

  ③ 都有 ;

  ④ ,使 是幂函数,且在 上递减;

  ⑤ 函数 都不是偶函数。

  三.解答题(共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

  16.已知函数 ,

  (1)若 的解集是 ,求 , 的值;

  (2)若 = ,解关于 的不等式 .

  17.如图,四棱锥 中, 平面 ,底面四边形 为矩形, 为 中点,

  (1)求证:

  (2)在线段 上是否存在一点 ,使得 ∥平面 ,若存在,指出 的位置;若不存在,说明理由。

  18.如图,一艘轮船在A处正沿直线返回港口B,接到气象台的台风预报,台风中心O位于轮船正西40km处,受影响的范围是半径为20km的圆形区域。已知港口B位于台风中心正北30km处。

  (1)建立适当的坐标系,写出直线AB的方程;

  (2)如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?(不考虑台风中心的移动)

  19. A,B,C是△ABC的内角, , , 分别是其对边,已知 , ,且 ∥ ,B为锐角,

  (1)求B的.大小;(2)如果 ,求△ABC的面积的最大值。

  20.已知函数 ,数列 的前n项和为 ,点 ,( )都在函数 的图像上,

  (1)求 的通项公式;

  (2)令 ,求 的前n项和 ;

  (3)令 ,证明: , 。

  21.已知 ,函数 , , ,(其中e是自然对数的底数,为常数),

  (1)当 时,求 的单调区间与极值;

  (2)在(1)的条件下,求证: ;

  (3)是否存在实数 ,使得 的最小值为3. 若存在,求出 的值,若不存在,说明理由。

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