高一数学必修一知识点总结

时间:2021-08-31

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  高一数学必修一知识点总结

  第一章 集合与函数概念

  一、集合有关概念

  1.集合的含义

  2.集合的中元素的三个特性:

  (1)元素的确定性如:世界上最高的山

  (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

  3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意:常用数集及其记法:X Kb 1.C om

  非负整数集(即自然数集) 记作:N

  正整数集 :N*或 N+

  整数集: Z

  有理数集: Q

  实数集: R

  1)列举法:{a,b,c……}

  2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}

  3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4) Venn图:

  4、集合的分类:

  (1)有限集 含有有限个元素的集合

  (2)无限集 含有无限个元素的集合

  (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系-子集

  注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

  2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

  即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA

  ② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

  ③ 如果 AB, BC ,那么 AC

  ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

  3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

  4.子集个数:

  有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集

  三、集合的运算

  运算类型 交 集 并 集 补 集

  定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.

  由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).

  设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

  记作 ,即

  CSA=

  韦

  恩

  图

  示

  性

  质 A A=A

  A Φ=Φ

  A B=B A

  A B A

  A B B

  A A=A

  A Φ=A

  A B=B A

  A B A

  A B B

  (CuA) (CuB)

  = Cu (A B)

  (CuA) (CuB)

  = Cu(A B)

  A (CuA)=U

  A (CuA)= Φ.

  二、函数的有关概念

  1.函数的概念

  设A、B是非空的.数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

  注意:

  1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

  ②定义域一致 (两点必须同时具备)

  2.值域 : 先考虑其定义域

  (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

  3. 函数图象知识归纳

  (1)定义:

  在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

  (2) 画法

  1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

  4.区间的概念

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.

  5.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”

  对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  补充:复合函数

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

  二.函数的性质

  1.函数的单调性(局部性质)

  (1)增函数

  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;

  (2) 图象的特点